Question

12．如圖，在?ABCD中，∠ABC=70°，半徑為r的⊙O經(jīng)過點(diǎn)A，B，D，$\widehat{AD}$的長是$\frac{πr}{2}$，延長CB至點(diǎn)P，使得PB=AB．判斷直線PA與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 連接OA、OD，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠P=∠BAP，由三角形的外角性質(zhì)得出∠BAP=$\frac{1}{2}$∠ABC=35°，由弧長公式求出∠AOD=90°，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠OAD=∠ODA=45°，由平行四邊形的性質(zhì)求出∠BAD=110°，得出∠BAO=65°，因此∠OAP=35°+65°=100°＞90°，即可得出結(jié)論．

解答 解：直線PA與⊙O相交；理由如下：
連接OA、OD，如圖所示：
∵PB=AB，
∴∠P=∠BAP，
∵∠ABC=∠P+∠BAP，
∴∠BAP=$\frac{1}{2}$∠ABC=35°，
設(shè)∠AOD的度數(shù)為n，
∵$\widehat{AD}$的長=$\frac{nπr}{180}$=$\frac{πr}{2}$，
解得：n=90，
∴∠AOD=90°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA=45°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠BAD=180°-∠ABC=110°，
∴∠BAO=∠BAD-∠OAD=110°-45°=65°，
∴∠OAP=35°+65°=100°＞90°，
∴直線PA與⊙O相交．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓的位置關(guān)系、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、弧長公式、平行四邊形的性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，由弧長公式求出∠AOD的度數(shù)是解決問題的關(guān)鍵．