Question

19．如圖，已知二次函數(shù)y=x²+bx+4與x軸交于點B（4，0），與y軸交于點A，O為坐標(biāo)原點，P是二次函數(shù)y=x²+bx+4的圖象上一個動點，點P的橫坐標(biāo)是m，且m＞4，過點P作PM⊥x軸，PM交直線AB于M．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）若以AB為直徑的⊙N恰好與直線PM相切，求此時點P的坐標(biāo)；
（3）在點P的運動過程中，△APM能否為等腰三角形？若能，求出點M的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得二次函數(shù)的解析式；
（2）先求出B點坐標(biāo)N點坐標(biāo)和⊙N的半徑，根據(jù)⊙N恰好與直線PM相切，可得N到PM的長為半徑，可得P點的橫坐標(biāo)，再根據(jù)函數(shù)與自變量的對應(yīng)關(guān)系，可得答案；
（3）分類討論：①當(dāng)PA=PM時，②當(dāng)AP=AM時，③當(dāng)MA=MP時，根據(jù)等腰三角形的定義，可得關(guān)于m的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答 解：（1）將B（4，0）代入y=x²+bx+4，得
0=16+4b+4，
解得：b=-5，
故y=x²-5x+4；
（2）當(dāng)x=0時，y=4，即A（0，4）．
又B（4，0），
AB的中點N（2，2），
AB=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
以AB為直徑的⊙N半r=$\frac{AB}{2}$=2$\sqrt{2}$．
以AB為直徑的⊙N恰好與直線PM相切，得
P點的橫坐標(biāo)為 m=2+2$\sqrt{2}$．
P點的縱坐標(biāo)：m²-5m+4=（m-2）²-m=（2$\sqrt{2}$）²-（2+2$\sqrt{2}$）=6-2$\sqrt{2}$；
P（2+2$\sqrt{2}$，6-2$\sqrt{2}$），
以AB為直徑的⊙N恰好與直線PM相切，此時點P的坐標(biāo)（2+2$\sqrt{2}$，6-2$\sqrt{2}$）．
（3）AB的解析式為y=-x+4，點M的坐標(biāo)是（m，4-m），P（m，m²-5m+4）
PM²=m⁴-12m³+36m²，AP²=m⁴-10m³+26m²，AM²=2m²，
①當(dāng)PA=PM時；m⁴-10m³+26m²=m⁴-12m³+36m²，化簡，得
2m³-10m²=0，解得m=5，m=0（舍）；當(dāng)m=5時，y=4-5=-1，
∴M（5，-1）．
②當(dāng)AP=AM時，m⁴-10m³+26m²=2m²，化簡，得
m⁴-10m³+24m²=0解得m=6，m=0（不符合題意，舍）m=4（不符合題意，舍）；
當(dāng)m=6時，4-6=-2，
∴M（6，-2）．
③當(dāng)MA=MP時，2m²=m⁴-12m³+36m²，化簡，得m⁴-12m³+34m²=0
解得m=4+$\sqrt{2}$，m=0（不符合題意，舍），m=4-$\sqrt{2}$（不符合題意，舍）；
當(dāng)m=4+$\sqrt{2}$0時，4-4-$\sqrt{2}$=-$\sqrt{2}$，
∴M（4+$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$）．
綜上所述：所求點M的坐標(biāo)是（5，-1）或（6，-2）或（4+$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$）．

點評 本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識點有拋物線的公式的求法和等腰三角形的性質(zhì)等知識點，是各地中考的熱點和難點，解題時注意數(shù)形結(jié)合和分類討論等數(shù)學(xué)思想的運用，同學(xué)們要加強訓(xùn)練，屬于中檔題．