Question

如圖1，已知拋物線與坐標軸分別交于點A（-4，0）、B（4，0）、C（0，-2），過點C作平行于x軸的直線l．
（1）求拋物線的解析式；
（2）已知點N（8，6），直線l上是否存在點P，使得△OPN是以ON為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有滿足條件的點P的坐標；若不存，請說明理由；
（3）如圖2，設N（m，n）（m≠0）為拋物線上一動點，過ON的中點E作EF⊥l于點F，連接FO，F(xiàn)N．
①求證：∠OFN=90°；
②若△OFN是以ON為斜邊的等腰直角三角形，請直接寫出滿足條件的點N的坐標（不必寫出求解過程）．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）應用待定系數(shù)法即可求得．
（2）設出P點的坐標（m，-2），表示出OP²、ON²、PN²的值，分兩種情況討論，當∠PON=90°時，OP²+ON²=PN²，當∠PNO=90°時，PN²+ON²=OP²，即可求得．
（3）①先根據(jù)勾股定理求得OF²、NF²、NO²，然后根據(jù)勾股定理的逆定理即可判定；②根據(jù)OF²=NF²求出n的值即可求得m的值，從而求得N點的坐標．

解答：（1）解：設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，依題意得

16a-4b+c=0 16a+4b+c=0 c=-2

   解得

a= 1 8 b=0 c=-2

∴拋物線的解析式為y=

1

8

x²-2，
（2）存在；
設P點的坐標（m，-2），則OP²=2²+m²=4+m²，ON²=6²+8²=100，PN²=（6+2）²+（8-m）²=m²-16m+128，
∵當∠PON=90°時，OP²+ON²=PN²，
∴4+m²+100=m²-16m+128，解得m=

3

2

，
∴P（

3

2

，-2），
∵當∠PNO=90°時，PN²+ON²=OP²，
∴m²-16m+128+100=4+m²，解得m=14，
∴P（14，-2）

（3）①證明；過N點作NG⊥X軸于G，
∵N（m，n），依題意得F（

m

2

，-2），
∴n=

1

8

m²-2，即m²=8n+16，
∴OF²=CF²+OC²=

m2

4

+4=2n+8，
∴NF²=GF²=+NG²=

m2

4

+（n+2）²=n²+6n+8，NO²=m²+n²=8n+16+n²，
∴OF²+NF²=ON²，
∴∠OFN=90°；
②N（-4，0）或N（4，0）．
∵△OFN是以ON為斜邊的等腰直角三角形，
∴OF=NF，
∵NF²=n²+6n+8，NO²=8n+16+n²，
∴OF²=2n+8，
∴n²+6n+8=2n+8，解得：n=0或n=-4（舍去），
∴0=

1

8

m²-2，解得：m=4，或m=-4，
∴N（-4，0）或N（4，0）．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求解析式，勾股定理以及勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性質(zhì)等．