Question

如圖，矩形O′A′BC′是矩形OABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，O′點(diǎn)在x軸的正半軸上，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，3），頂點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為-1，求二次函數(shù)對(duì)稱軸右側(cè)的圖象上點(diǎn)P，使得△POB是以O(shè)B為直角邊的直角三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì),二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

專題：

分析：連接OB，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得OB=O′B，表示出點(diǎn)O′的坐標(biāo)，然后求出拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）²-1，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，①把△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°求出B′的坐標(biāo)，再求出OB′的解析式，與二次函數(shù)解析式聯(lián)立求解即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，②把△AOB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)O′的坐標(biāo)，再求出BO′的解析式，與二次函數(shù)解析式聯(lián)立求解即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：如圖，連接OB，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，OB=O′B，
∵B（1，3），
∴點(diǎn)O′（2，0），
∵頂點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為-1，
∴M（1，-1），
設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）²-1，
則a（2-1）²-1=0，
解得a=1，
所以，拋物線解析式為y=（x-1）²-1=x²-2x，
①把△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得B′（3，-1）的坐標(biāo)，
所以，直線OB′的解析式為y=-

1

3

x，
聯(lián)立

y=x2-2x y=- 1 3 x

，
解得

x1=0 y1=0

（舍去），

x2= 5 3 y2=- 5 9

，
所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

5

3

，-

5

9

），
②把△AOB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)O′（4，2），
設(shè)直線BO′的解析式為y=kx+b，
則

k+b=3 4k+b=2

，
解得

k=- 1 3 b= 10 3

，
所以，直線O′B的解析式為y=-

1

3

x+

10

3

，
聯(lián)立

y=x2-2x y=- 1 3 x+ 10 3

，
解得

x1= 5+ 145 6 y1= 55- 145 18

，

x2= 5- 145 6 y2= 55+ 145 18

（舍去），
所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

5+ 145

6

，

55- 145

18

），
綜上所述，△POB是以O(shè)B為直角邊的直角三角形時(shí)，P（

5

3

，-

5

9

）或（

5+ 145

6

，

55- 145

18

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)求出另一直角邊所在的直線的解析式是解題的關(guān)鍵．