Question

如圖，在四邊形ABCD中，E為AB上一點，△ADE和△BCE都是等邊三角形，AB、BC、CD、DA的中點分別為P、Q、M、N，
（1）試判斷四邊形PQMN為怎樣四邊形，并證明你的結(jié)論．
（2）求∠NMQ的大�。�

Answer 1

考點：中點四邊形

專題：

分析：（1）連接四邊形ADCB的對角線，通過全等三角形來證得AC=BD，從而根據(jù)三角形中位線定理證得四邊形NPQM的四邊相等，可得出四邊形MNPQ是菱形．
（2）利用（1）中全等三角形的對應角相等得到∠ACE=∠DBE，由等邊三角形的性質(zhì)和三角形外角定理求得∴∠CEB=∠CAB+∠DBE=∠CAB+∠ACE=60°，則∠AOB=∠NMQ=120°．

解答：（1）解：四邊形PQMN為菱形．理由如下：
如圖，連接BD、AC．
∵△ADE、△ECB是等邊三角形，
∴AE=DE，EC=BE，∠AED=∠BEC=60°，
∴∠AEC=∠DEB=120°，
在△AEC與△DEB中，

AE=DE ∠AEC=∠DEB EC=EB

，
∴△AEC≌△DEB（SAS），
∴AC=BD；
∵M、N是CD、AD的中點，
∴MN是△ACD的中位線，即MN=

1

2

AC；
同理可證得：NP=

1

2

DB，QP=

1

2

AC，MQ=

1

2

BD；
∴MN=NP=PQ=MQ，
∴四邊形NPQM是菱形；

（2）∵由（1）知，△AEC≌△DEB，
∴∠ACE=∠DBE，
∴∠CEB=∠CAB+∠DBE=∠CAB+∠ACE=60°，
∴∠AOB=120°
又∵∠NMQ=∠DOC=∠AOB，
∴∠NMQ=120°．

點評：此題主要考查的是菱形的判定方法，能發(fā)現(xiàn)并構(gòu)建出全等三角形，是解答本題的關鍵．