Question

【題目】如圖，拋物線過點(diǎn)C（4，3），交x軸于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）．

（1）求拋物線的解析式，并寫出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（2）連接OC，CM，求sin∠OCM的值；

（3）若點(diǎn)P是拋物線對稱軸上的一個動點(diǎn)，求使△PBC為直角三角形點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，﹣1）；（2）的值為；（3）點(diǎn)P坐標(biāo)為P（2，1）或（2，2）或（2，）或（2，）.

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法先求出拋物線的解析式，再根據(jù)頂點(diǎn)式的特點(diǎn)可寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）根據(jù)點(diǎn)C和點(diǎn)M的坐標(biāo)，求出的長，可得是直角三角形，再利用正弦的定義即可得；

（3）先可知點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，設(shè)其坐標(biāo)為，再根據(jù)拋物線的解析式求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)距離公式分別求出的長，最后根據(jù)為直角三角形，分三種情況，利用勾股定理求解即可.

（1）由拋物線過點(diǎn)，得：

，解得

故拋物線的解析式為，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為；

（2）如圖，連接OM

由C和M的坐標(biāo)，利用勾股定理可得：,,,

是直角三角形，且

；

（3）由（1）得拋物線的對稱軸為直線，因此設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為

拋物線交x軸于A、B兩點(diǎn)

令得點(diǎn)A和B的坐標(biāo)為：

由兩點(diǎn)距離公式得：

根據(jù)為直角三角形，分以下三種情況：

①當(dāng)時，則，即

解得：或

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為或

②當(dāng)時，則，即

解得：

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為

③當(dāng)時，則，即

解得：

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為

綜上，點(diǎn)P坐標(biāo)為或或或.