Question

已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，AD=2

3

-2．動(dòng)點(diǎn)P在折線BA-AD-DC上移動(dòng)，若存在∠BPC=120°，且這樣的P點(diǎn)恰好出現(xiàn)3次，則梯形ABCD的面積是（　�。�

• A、2

  3

  -1
• B、2

  3

  -2
• C、2

  3

• D、2

  3

  +1

Answer 1

考點(diǎn)：等腰梯形的性質(zhì)

專題：

分析：由題意可知P點(diǎn)存在三次，AD中點(diǎn)正好有一次，求得∠APB=∠PBC=30°，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)求得AM，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)求得AE=BE=DF=CF，設(shè)AE=BE=x，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理得出

AP

BE

=

AM

ME

，從而求得AE=BE=DF=CF=1，BC=2

3

，即可求得梯形的面積；

解答：解：根據(jù)題意P點(diǎn)正好是AD的中點(diǎn)時(shí)∠BPC=120°，
∴∠PBC=∠PCB=30°，AP=

1

2

AD=

3

-1，
∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠APB=∠PBC=30°，
作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，
∵∠B=45°，
∴AE=BE=DF=CF，AM=

3

3

AP=

3

3

（

3

-1），
設(shè)AE=BE=x，
∵AD∥BC，
∴

AP

BE

=

AM

ME

，
即

3 -1

x

=

3 3 ( 3 -1)

x- 3 3 ( 3 -1)

，解得x=1，
∴AE=BE=DF=CF=1，BC=2

3

，
∴梯形ABCD的面積=

1

2

（AD+BC）•AE=

1

2

×(4

3

-2)×1=2

3

-1．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，特殊角的三角函數(shù)以及梯形的面積，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．