Question

如圖，在正方形ABCD中，已知CE=CF，CP⊥DE于點P，求證：PA⊥PF．

Answer 1

考點：正方形的性質,相似三角形的判定與性質

專題：證明題

分析：由條件易證Rt△PCD∽Rt△CED，可得

PC

CE

=

PD

CD

，結合條件CE=CF，CD=DA，所以有

PC

CF

=

PD

AD

，且易得∠PCD=∠PDA，所以可證得△PCF∽△PDA，可知∠CPF=∠DPA，則結論易證．

解答：證明：在Rt△CDE中，CP⊥DE
∴∠CPD=∠ECD=90°，且∠EDC為公共角，
∴Rt△PCD∽Rt△CED，
∴

PC

CE

=

PD

CD

，
∵CE=CF，CD=AD，
∴

PC

CF

=

PD

AD

，
∵∠PCD+∠CDE=90°，∠PDA+∠CDE=90°，
∴∠PCD=∠PDA，
∴△PCF∽△PDA，
∴∠CPF=∠DPA，
且∠CPF+∠FPD=90°，∠DPA+∠FPD=90°，
∴PA⊥PF．

點評：本題主要考查正方形的性質及相似三角形的判定和性質的應用，解題的關鍵是證得

PC

CF

=

PD

AD

．