Question

3．已知關于x的二次函數(shù)y=ax²-4ax+a²+2a-3；
（1）若y在-1≤x≤3的范圍內(nèi)有最小值5，求a的值；
（2）若a＞0，當t-1＜y＜t（t是常數(shù)）時求y的最小值u．

Answer 1

分析 （1）由y=ax²-4ax+a²+2a-3=a（x-2）²+（a²-2a-3）可知當a＞0時，最小值是a²-2a-3=5，當a＜0時，x=-1時，y有最小值5，則a+4a+a²+2a-3=5，解關于a的方程即可求得；
（2）因為a＞0時，u=a²-2a-3，u的值與t的取值有關．

解答 解：（1）y=ax²-4ax+a²+2a-3=a（x-2）²+（a²-2a-3），
其對稱軸為x=2，
當a＞0時，最小值是a²-2a-3=5，解得a₁=4，a₂=-2（舍去）；
當a＜0時，x=-1時，y有最小值5，則a+4a+a²+2a-3=5，整理得a²+7a-8=0，解得a₁=1（舍去），a₂=-8，
所以a的值為4或-8；
（2）∵a＞0，
∴y的最小值u=a²-2a-3，與t的取值有關．

點評 本題考查了二次函數(shù)的最值，注意，只有當自變量x在整個取值范圍內(nèi)，函數(shù)值y才在頂點處取最值．而當自變量取值范圍只有一部分時，必須結(jié)合二次函數(shù)的增減性及對稱軸判斷何處取最大值，何處取最小值．