Question

20．如圖所示，
（1）點P是∠ABC和∠ACB的角平分線的交點，試探索∠A與∠P之間的關系．
（2）點P是∠ABC和∠ACD的平分線的交點，試探索∠A與∠P之間的關系．
（3）點P是外角∠CBF和外角∠BCE的角平分線的交點，試探究△A與∠P之間的關系．

Answer 1

分析 （1）三角形的內(nèi)角和為180°，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，∠P=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），從而得證；
（2）根據(jù)角平分線的定義可得∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠PCE=$\frac{1}{2}$∠ACE，由外角的性質可得∠ACE=∠ABC+∠A，∠PCE=∠PBC+∠P，等量代換求出結果；
（3）根據(jù)三角形外角平分線的性質可得∠BCP=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）、∠PBC=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB）；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠P=90°-$\frac{1}{2}$∠A．

解答 解：（1）∵P點是∠ABC和∠ACB的角平分線的交點，
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠P=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=180°-90°+$\frac{1}{2}$∠A=90°+$\frac{1}{2}$∠A；

（2）∵BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角的平分線，
∴∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠PCE=$\frac{1}{2}$∠ACE，
∵∠ACE是△ABC的外角，∠PCE是△BPC的外角，
∴∠ACE=∠ABC+∠A，∠PCE=∠PBC+∠P，
∴$\frac{1}{2}$∠ACE=$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠A，
∴$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠A=∠PBC+∠P，
∠P=$\frac{1}{2}∠A$；

（3））∠BPC=90°-$\frac{1}{2}$∠A．
∵BP、CP為△ABC兩外角的平分線，
∴∠BCP=$\frac{1}{2}$∠BCE=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC），∠PBC=$\frac{1}{2}∠CBF$=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB），
由三角形內(nèi)角和定理得：
∠BPC=180°-∠BCP-∠PBC
=180°-$\frac{1}{2}$[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]
=180°-$\frac{1}{2}$（∠A+180°）
=90°-$\frac{1}{2}$∠A．

點評 本題考查三角形外角的性質及三角形的內(nèi)角和定理，解答此題的關鍵是溝通外角和內(nèi)角的關系．