Question

9．如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=90°，AB=3，CD=2，AD=7，在AD上是否存在點(diǎn)P，使△ABP與△DCP相似？如果存在，求出DP的值；如果不存在，試說明理由．

Answer 1

分析 設(shè)DP=x，則AP=7-x，利用平行線的性質(zhì)得∠D=∠A=90°，根據(jù)兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，當(dāng)$\frac{CD}{AB}$=$\frac{DP}{AP}$時(shí)，△DCP∽△ABP，即$\frac{2}{3}$=$\frac{x}{7-x}$；當(dāng)$\frac{CD}{AP}$=$\frac{DP}{AB}$時(shí)，△DCP∽△APB，即$\frac{CD}{AP}$=$\frac{DP}{AB}$，即$\frac{2}{7-x}$=$\frac{x}{3}$，然后分別解方程求出x即可得到DP的長．

解答 解：存在．
設(shè)DP=x，則AP=7-x，
∵AB∥DC，
∴∠D=∠A=90°，
當(dāng)$\frac{CD}{AB}$=$\frac{DP}{AP}$時(shí)，△DCP∽△ABP，即$\frac{2}{3}$=$\frac{x}{7-x}$，解得x=$\frac{14}{5}$；
當(dāng)$\frac{CD}{AP}$=$\frac{DP}{AB}$時(shí)，△DCP∽△APB，即$\frac{CD}{AP}$=$\frac{DP}{AB}$，即$\frac{2}{7-x}$=$\frac{x}{3}$，整理得x²-7x+6=0，解得x₁=1，x₂=6．
綜上所述，當(dāng)DP為$\frac{14}{5}$或1或6時(shí)，△ABP與△DCP相似．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．運(yùn)用分類討論的思想是解決此題的關(guān)鍵．