Question

1．如圖，點(diǎn)C是以AB為直徑的圓周上一點(diǎn)，CD⊥AB于點(diǎn)D，已知AD=1，DB=3，現(xiàn)將三角形ABC繞頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)頂點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′落在邊AB的起始位置上即停止轉(zhuǎn)動(dòng)，則點(diǎn)B轉(zhuǎn)過的路徑長(zhǎng)為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$π．

Answer 1

分析 根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=90°，再證明Rt△ACD∽R(shí)t△ABC，利用相似比可計(jì)算出AC=2，接著根據(jù)勾股定理計(jì)算出BC=2$\sqrt{3}$，余弦定義可得到∠A=60°，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CA=CA′，∠ACA′=∠BCB′，則可判斷△CAA′為等邊三角形，所以∠ACA′=60°=∠BCB′=60°，最后利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算$\widehat{BB′}$的長(zhǎng)度即可．

解答 解：∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∵∠CAD=∠BAC，
∴Rt△ACD∽R(shí)t△ABC，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AD}{AC}$，即$\frac{AC}{1+3}$=$\frac{1}{AC}$，
∴AC=2，
在Rt△ACB中，BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，

在Rt△ACD中，∵cosA=$\frac{AD}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠A=60°，
∵頂點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′落在邊AB的起始位置上，
∴CA=CA′，∠ACA′=∠BCB′，
∴△CAA′為等邊三角形，
∴∠ACA′=60°，
∴∠BCB′=60°，
∴$\widehat{BB′}$的長(zhǎng)度=$\frac{60•π•2\sqrt{3}}{180}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$π，
即點(diǎn)B轉(zhuǎn)過的路徑長(zhǎng)為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$π．
故答案為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．解決本題的關(guān)鍵是求出旋轉(zhuǎn)角．