【題目】如圖,在等腰△ABC中,AB=BC,以AB為直徑的半圓分別交AC、BC于點D、E兩點,BF與⊙O相切于點B,交AC的延長線于點F.
(1)求證:D是AC的中點;
(2)若AB=12,sin∠CAE=,求CF的值.
【答案】(1)證明見解析;(2)CF=.
【解析】
(1)連接BD,由圓周角定理知DB⊥AC,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質即可證得D是AC的中點.
(2)根據(jù)切線的性質得到∠ABF=90°,根據(jù)同弧所對的圓周角相等,得到∠CAE=∠CBD,又∠CBD=∠ABD,∠ABD=∠F,則sin∠CAE=sin∠F=sin∠ABD,則
即可求出的長度,即可求解.
(1)證明:連接DB,
∴AB是⊙O直徑,
∴∠ADB=90°,
∴DB⊥AC.
又∵AB=BC.
∴D是AC的中點.
(2)解:∵BF與⊙O相切于點B,
∴∠ABF=90°,
∵∠CAE=∠CBD,
∴∠CBD=∠ABD,∠ABD=∠F,
∴sin∠CAE=sin∠F=sin∠ABD,
∴在△ADB和△ABF中,
∵AB=12,
∴
∴CF=AF﹣AC=-=.
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【題目】在平面直角坐標系中,點A(4,0),B為第一象限內(nèi)一點,且OB⊥AB,OB=2.
(1)如圖①,求點B的坐標;
(2)如圖②,將△OAB沿x軸向右平移得到△O′A′B′,設OO′=m,其中0<m<4,連接BO′,AB與O′B′交于點C.
①試用含m的式子表示△BCO′的面積S,并求出S的最大值;
②當△BCO′為等腰三角形時,求點C的坐標(直接寫出結果即可).
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【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)是由拋物線y=﹣x2+x+2先作關于y軸的軸對稱圖形,再將所得到的圖象向下平移3個單位長度得到的,點Q1(﹣2.25,q1),Q2(1.5,q2)都在拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)上,則q1,q2的大小關系是( 。
A. q1>q2 B. q1<q2 C. q1=q2 D. 無法確定
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦BC=OB,點D是上一動點,點E是CD中點,連接BD分別交OC,OE于點F,G.
(1)求∠DGE的度數(shù);
(2)若=,求的值;
(3)記△CFB,△DGO的面積分別為S1,S2,若=k,求的值.(用含k的式子表示)
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【題目】已知直線與軸交于點,且過拋物線的頂點和拋物線上的另一點.
(1)若點
①求拋物線解析式;
②若,求直線解析式.
(2)若,過點作軸的平行線與拋物線的對稱軸交于點,當時,求的面積的最大值.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=ax2+bx﹣3(a≠0)與x軸交于點A(﹣1,0)和點B,且OB=3OA,與y軸交于點C,此拋物線頂點為點D.
(1)求拋物線的表達式及點D的坐標;
(2)如果點E是y軸上的一點(點E與點C不重合),當BE⊥DE時,求點E的坐標;
(3)如果點F是拋物線上的一點.且∠FBD=135°,求點F的坐標.
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【題目】如圖,已知矩形中,,動點從點出發(fā),沿方向以每秒1個單位的速度運動,連接,作點關于直線的對稱點,設點的運動時間為.
(1)若,僅在邊運動,求當,,三點在同一直線上時對應的的值.
(2)在動點在射線上運動的過程中,求使點到直線的距離等于3時對應的的值.
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【題目】某企業(yè)為了解飲料自動售賣機的銷售情況,對甲、乙兩個城市的飲料自動售賣機進行抽樣調(diào)查,從兩個城市中所有的飲料自動售賣機中分別抽取16臺,記錄下某一天各自的銷售情況(單位:元)如下:
甲:25、45、38、22、10、28、61、18、38、45、78、45、58、32、16、78
乙:48、52、21、25、33、12、42、39、41、42、33、44、33、18、68、72
整理、描述數(shù)據(jù):對銷售金額進行分組,各組的頻數(shù)如下:
銷傳金額 | ||||
甲 | 3 | 6 | 4 | 3 |
乙 | 2 | 6 | a | b |
分析數(shù)據(jù):兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)如下表所示:
城市 | 中位數(shù) | 平均數(shù) | 眾數(shù) |
甲 | C | 39.8 | 45 |
乙 | 40 | 38.9 | d |
請根據(jù)以上信息,回答下列問題:
(1)填空:a=, b=, c=, d=.
(2)兩個城市目前共有飲料自動售賣機4000臺,估計日銷售金額不低于40元的數(shù)量約為多少臺?
(3)根據(jù)以上數(shù)據(jù),你認為甲、乙哪個城市的飲料自動售賣機銷售情況較好?請說明理由(一條理由即可).
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【題目】已知拋物線 y x2 mx 2m 4(m>0).
(1)證明:該拋物線與 x 軸總有兩個不同的交點;
(2)設該拋物線與 x 軸的兩個交點分別為 A,B(點 A 在點 B 的右側),與 y 軸交于點 C,A,B,三點都在圓 P 上.
①若已知 B(-3,0),拋物線上存在一點 M 使△ABM 的面積為 15,求點 M 的坐標;
②試判斷:不論 m 取任何正數(shù),圓 P 是否經(jīng)過 y 軸上某個定點?若是,求出該定點的坐標,若不是,說明理由.
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