Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，點(diǎn)O在BC邊上，∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，連接BD、CD，過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線與AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P．

（1）求證：PD是⊙O的切線；

（2）求證：；

（3）若，，求線段DP的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）15

【解析】

（1）先判斷出∠BAC=2∠BAD，進(jìn)而判斷出∠BOD=∠BAC=90°，得出PD⊥OD即可得出結(jié)論；

（2）先判斷出∠ADB=∠P，再判斷出∠DCP=∠ABD，即可證明△ABD∽△DCP，進(jìn)一步可得出結(jié)論；

（3）首先求出BC=10，從而得出OD=5，作CG⊥DP，則可得四邊形ODGC是正方形，故可得CG=5，由可求出GP=，從而可得結(jié)論.

（1）如圖，連接OD，

∵BC是⊙O的直徑，

∴∠BAC=90°，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAC=2∠BAD，

∵∠BOD=2∠BAD，

∴∠BOD=∠BAC=90°，

∵DP∥BC，

∴∠ODP=∠BOD=90°，

∴PD⊥OD，

∵OD是⊙O半徑，

∴PD是⊙O的切線；

（2）∵PD∥BC，

∴∠ACB=∠P，

∵∠ACB=∠ADB，

∴∠ADB=∠P，

∵∠ABD+∠ACD=180°，∠ACD+∠DCP=180°，

∴∠DCP=∠ABD，

∴△ABD∽△DCP，

∴

∴ABCP=BDCD．

（3）在中，∵，，

∴，

∴，

∴，

過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則四邊形為正方形，

∴，

∵，

∴，

，

∴，即，

解得，，

∴．