Question

如圖，已知直線y=

5

12

x+5與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A、B兩點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）設(shè)F是x軸上一動點(diǎn)，用尺規(guī)作圖作出⊙P，使⊙P經(jīng)過點(diǎn)B且與x軸相切于點(diǎn)F（不寫作法和證明，保留作圖痕跡）；
（3）設(shè)（2）中所作的⊙P的圓心坐標(biāo)為P（x，y），求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（4）是否存在這樣的⊙P，既與x軸相切又與直線y=

5

12

x+5相切于點(diǎn)B？若存在，求出圓心P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）令x=0以及y=0代入直線解析式可求出A，B的坐標(biāo)；
（2）作出線段BF的垂直平分線進(jìn)而過點(diǎn)F作垂直于x軸的直線交于點(diǎn)P，進(jìn)而得出答案；
（3）做PD⊥y軸于D，根據(jù)勾股定理得出PB²=PD²+BD²，BP²=PD²+BD²．得出y與x的關(guān)系式即可；
（4）依題意可得AB²=OA²+OB²=AF²=13²，求出關(guān)于x的值代入解析式，求出y值即可，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）令y=0得x=-12，令x=0得，y=5，
∴A（-12，0），B（0，5）；

（2）如圖：

（3）如圖：過點(diǎn)P作PD⊥y軸于D，則PD=|x|，BD=|5-y|，PB=PF=y，
∵△BDP為直角三角形，
∴BP²=PD²+BD²，
即|y|²=|x|²+|5-y|²，
y²=x²+（5-y）²，
∴y與x的函數(shù)關(guān)系為y=

1

10

x²+

5

2

；

（4）存在．
解：∵AO=12，BO=5，
∴AB=

AO2+BO2

=13，
∵⊙P與x軸相切于點(diǎn)F，且與直線l相切于點(diǎn)B，
∴AB=AF，
∵AB²=OA²+OB²=13²，
∴AF²=13²，
∵AF=|x+1|，
∴（x+12）²=13²，
∴x₁=-25，x₂=1，
把x=-25，x=1代入y=

1

10

x²+

5

2

，
得y=65或y=2.6，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-25，65）或（1，2.6）．

點(diǎn)評：本題考查的是圓的綜合以及一次函數(shù)的圖形與應(yīng)用的有關(guān)知識以及考生作圖能力，難度中等．