Question

10．如圖．△ABC是等邊三角形．BD是AC邊上的中線，E是B、C邊上一點(diǎn)（不與B、c重合）
（1）如圖1，若等邊三角形ABC的邊長為4，若DE⊥BC，連接AE，求AE的長；
（2）如圖2，若DE平分∠BDC，求證：BE=$\sqrt{3}$CE；
（3）如圖3，連接AE，交BD于點(diǎn)M．以AM為邊作等邊△AMN，連接BN．求證：∠CAE+∠CBD=∠MBN．

Answer 1

分析 （1）如圖1所示，過A作AF⊥BC，交BC于點(diǎn)F，利用三線合一可得F為BC邊上的中點(diǎn)，同理BD為角平分線，BD垂直于AC，根據(jù)DE與AF平行，且D為AC中點(diǎn)，得到E為FC中點(diǎn)，求出FE的長，在直角三角形AEF中，利用勾股定理求出AE的長；
（2）在直角三角形BDC中，利用勾股定理求出BD的長，在三角形BCD中，由DE為角平分線，利用角平分線定理列出關(guān)系式，即可得證；
（3）連接MC，如圖3所示，利用SAS得到三角形NAB與三角形MAC全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到NB=MC，再由AM=MC，得到BN=AN，利用等邊對等角得到∠NBA=∠NAB=∠EAC，由∠MBN=∠NBA+∠ABD，等量代換即可得證．

解答 （1）解：如圖1所示，過A作AF⊥BC，交BC于點(diǎn)F，可得F為BC邊上的中點(diǎn)，
∵ABC為等邊三角形，且BD是AC邊上的中線，
∵DE⊥FC，AF⊥FC，
∴DE∥AF，
∵D為AC中點(diǎn)，
∴E為FC中點(diǎn)，即EF=1，
在Rt△AEF中，根據(jù)勾股定理得：AE=$\sqrt{12+1}$=$\sqrt{13}$；
（2）證明：在Rt△BDC中，BC=4，CD=2，
根據(jù)勾股定理得：BD=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵在△BDC中，DE平分∠BDC，
∴$\frac{BD}{DC}$=$\frac{BE}{EC}$，即$\frac{2\sqrt{3}}{2}$=$\frac{BE}{CE}$，
則BE=$\sqrt{3}$CE；
（3）證明：連接MC，如圖3所示，
∵△AMN與△ABC都為等邊三角形，
∴∠NAM=∠BAC=60°，AB=AB，AN=AM，
∴∠NAM-∠BAE=∠BAC-∠BAE，即∠NAB=∠MAC，
在△NAB和△MAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AN=AM}\\{∠NAB=∠MAC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△NAB≌△MAC（SAS），
∴BN=MC，
∵M(jìn)D垂直平分AC，
∴AM=MN=MC，
∴NB=NM=AN，
∴∠NBA=∠NAB=∠EAC，
∵∠ABD=∠CBD，
∴∠CAE+∠CBD=∠NBA+∠ABD=∠MBN．

點(diǎn)評 此題屬于相似形綜合題，涉及的知識有：等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，角平分線定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．