Question

5．如圖，拋物線y=ax²-2ax+c（a≠0）交x軸于A、B兩點，A點的坐標為（3，0），與y軸交于點C（0，4），以OC、OA為邊作矩形OADC交拋物線于點G．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點E在邊OA（不包括O、A兩點）上移動，過點E作平行于拋物線的對稱軸l的直線分別交CD于點F，交AC于點M，交拋物線于點P，若點E的橫坐標為m，請用含m的代數(shù)式表示PM的長；
（3）在（2）的條件下，連接PC，則在CD上方的拋物線部分是否存在這樣的點P，使得以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似？若存在，求出此時m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）將A（3，0），C（0，4）代入y=ax²-2ax+c，運用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）先根據(jù)A、C的坐標，用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，進而根據(jù)拋物線和直線AC的解析式分別表示出點P、點M的坐標，即可得到PM的長；
（3）由于∠PFC和∠AEM都是直角，F(xiàn)和E對應，則若以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似時，分兩種情況進行討論：①△PFC∽△AEM，②△CFP∽△AEM；可分別用含m的代數(shù)式表示出AE、EM、CF、PF的長，根據(jù)相似三角形對應邊的比相等列出比例式，求出m的值．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²-2ax+c（a≠0）經(jīng)過點A（3，0），點C（0，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a-6a+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{4}{3}}\\{c=4}\end{array}\right.$．
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{4}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x+4；

（2）設直線AC的解析式為y=kx+b，
∵A（3，0），點C（0，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$．
∴直線AC的解析式為y=-$\frac{4}{3}$x+4．
∵點M的橫坐標為m，點M在AC上，
∴M點的坐標為（m，-$\frac{4}{3}$m+4），
∵點P的橫坐標為m，點P在拋物線y=-$\frac{4}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x+4上，
∴點P的坐標為（m，-$\frac{4}{3}$m²+$\frac{8}{3}$m+4），
∴PM=PE-ME=（-$\frac{4}{3}$m²+$\frac{8}{3}$m+4）-（-$\frac{4}{3}$m+4）=-$\frac{4}{3}$m²+4m，
即PM=-$\frac{4}{3}$m²+4m（0＜m＜3）；

（3）在（2）的條件下，連結(jié)PC，在CD上方的拋物線部分存在這樣的點P，使得以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似．理由如下：
由題意，可得AE=3-m，EM=-$\frac{4}{3}$m+4，CF=m，若以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似，情況：
①P點在CD上方，則PF=-$\frac{4}{3}$m²+$\frac{8}{3}$m+4-4=-$\frac{4}{3}$m²+$\frac{8}{3}$m．
若△PFC∽△AEM，則PF：AE=FC：EM，
即（-$\frac{4}{3}$m²+$\frac{8}{3}$m）：（3-m）=m：（-$\frac{4}{3}$m+4），
∵m≠0且m≠3，
∴m=$\frac{23}{16}$；
②若△CFP∽△AEM，則CF：AE=PF：EM，
即m：（3-m）=（-$\frac{4}{3}$m²+$\frac{8}{3}$m）：（-$\frac{4}{3}$m+4），
∵m≠0且m≠3，
∴m=1．
綜上所述，存在這樣的點P使△PFC與△AEM相似．此時m的值為$\frac{23}{16}$或1．

點評 此題是二次函數(shù)的綜合題，解題關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形、等腰三角形的判定，難度適中．要注意的是當相似三角形的對應邊和對應角不明確時，要分類討論，以免漏解．