Question

如圖，AB是圓O的直徑，AD、BC都垂直于AB，AD=13cm，BC=16cm，DC=5cm，點(diǎn)P、Q是動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P以1cm/s的速度由A向D運(yùn)動(dòng)，同時(shí)Q從C向B以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)時(shí)，另一點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．
（1）當(dāng)P從A向D運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，四邊形PQCD的面積S與t的關(guān)系式；
（2）是否存在時(shí)間t，使得梯形PQCD是等腰梯形？若存在求出時(shí)間t，若不存在說明理由；
（3）是否存在時(shí)間t，使得PQ與圓相切？

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）過點(diǎn)D作DE⊥BC于E，則四邊形ABED是矩形，AB=ED，所以求出DE，就求出了圓的直徑AB，要求四邊形PQCD的面積，只需用t表達(dá)出CQ和PD；
（2）當(dāng)四邊形PQCD為等腰梯形時(shí)，2t-（13-t）=6，即可求出t的值；
（3）先假設(shè)存在，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理得出方程，解方程，若方程有解，則存在，若方程無解，則不存在．

解答：解：（1）如圖一：過點(diǎn)D作DE⊥BC于E，

∵AB⊥BC，∴四邊形ADEB為矩形，
∴BE=AD=13，EC=3．
又∵CD=5，
∴DE=

52-32

=4，即AB=4，
∴⊙O的半徑為2cm．
當(dāng)P、Q運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，AP=t，CQ=2t
則S_{四邊形PQCD}=

1

2

（13-t+2t）×4，即S=2t+26（0≤t≤8）；

（2）當(dāng)四邊形PQCD為等腰梯形時(shí)，過P作PF⊥BC于F（如圖一），
則有QF=CE=3．
則2t-（13-t）=6，
解得：t=

19

3

．

（3）存在．
若PQ與圓相切，設(shè)切點(diǎn)為G．（如圖二）

作PH⊥BC于H．
∵A在⊙O上，∠A=90°，
∴AD切⊙O于A，
∵PQ切⊙O于G，
∴由切線長(zhǎng)定理得：PG=PA=t．
QG=QB=16-2t，QH=QB-BH=（16-2t）-t=16-3t
PQ=QB+AP=16-t．
在Rt△PQH中，PQ²=PH²+QH²，即（16-t）²=16+（16-3t）²
∴t²-8t+2=0．
解得t₁=4+

14

，t₂=4-

14

，
∵0≤t≤8，
∴當(dāng)t=4±

14

時(shí)，PQ與圓相切．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題及等腰梯形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是用含t的式子表示出各線段的長(zhǎng)度，另外要求我們熟練掌握等腰梯形的性質(zhì)，難度較大．