Question

如圖，直線OC，BC的函數(shù)關(guān)系式分別是y₁=x和y₂=-x+6，兩直線的交點(diǎn)為C．
（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)是（

 

，

 

），當(dāng)x

 

時(shí)，y₁＞y₂？
（2）△COB是

 

三角形，請證明．
（3）在直線y₁找點(diǎn)D，使△DOB的面積是△COB的一半，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（4）作直線a⊥x軸，并交直線y₁于點(diǎn)E，直線y₂于點(diǎn)F，若EF的長度不超過3，求x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）聯(lián)立兩直線解析式求出x與y的值，即為C坐標(biāo)，根據(jù)C坐標(biāo)，利用函數(shù)圖象找出y₁＞y₂時(shí)x的范圍即可；
（2）△COB為等腰直角三角形，理由為：過C作CM垂直于x軸，根據(jù)C坐標(biāo)確定出CM與OM的長，進(jìn)而求出MB的長，分別利用勾股定理求出OC與BC的長，再利用勾股定理的逆定理得到三角形OBC為直角三角形，根據(jù)OC=BC即可得證；
（3）如圖所示，分兩種情況考慮，當(dāng)D₁為OC中點(diǎn)時(shí)；當(dāng)O為D₁D₂中點(diǎn)時(shí)，分別根據(jù)△DOB的面積是△COB的一半，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出D坐標(biāo)即可；
（4）如圖所示，分兩種情況考慮：當(dāng)直線a在C左側(cè)時(shí)；當(dāng)直線a在C右側(cè)時(shí)，表示出EF的長，根據(jù)EF的長不超過3列出不等式，求出不等式的解集即可確定出x的范圍．

解答：解：（1）聯(lián)立得：

y=x y=-x+6

，
解得：x=3，y=3，
∴C（3，3），
根據(jù)圖形得：當(dāng)x＞3時(shí)，y₁＞y₂；
故答案為：3；3；＞3；
（2）△COB為等腰直角三角形，理由為：
過C作CM⊥x軸，由C（3，3），得到CM=OM=3，
根據(jù)勾股定理得：OC=

32+32

=3

2

，
∵OB=6，OM=3，
∴BM=OB-OM=6-3=3，即CM=BM=3，
根據(jù)勾股定理得：BC=

32+32

=3

2

，
在△BCO中，OC=BC=3

2

，OB=6，
∵OC²+BC²=18+18=36，OB²=36，
∴OC²+BC²=OB²，
則△OBC為等腰直角三角形；
故答案為：等腰直角；
（3）如圖所示，分兩種情況考慮：
當(dāng)D₁為OC中點(diǎn)時(shí)，△D₁OB的面積是△COB的一半，此時(shí)D₁（

3

2

，

3

2

）；
當(dāng)O為D₁D₂中點(diǎn)時(shí)，△DOB的面積是△COB的一半，此時(shí)D₂（-

3

2

，-

3

2

），
綜上，D的坐標(biāo)為（

3

2

，

3

2

）或（-

3

2

，-

3

2

）；
（4）分兩種情況考慮：
當(dāng)直線a在C左側(cè)時(shí)，此時(shí)EF=-x+6-x≤3，
解得：x≥

3

2

；
當(dāng)直線a在C右側(cè)時(shí)，此時(shí)EF=x-（-x+6）≤3，
解得：x≤

9

2

，
則x的范圍為

3

2

≤x≤

9

2

．

點(diǎn)評：此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，勾股定理，以及勾股定理的逆定理，線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式，利用了數(shù)形結(jié)合及分類討論的思想，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．