Question

問題：如圖1，要在一個矩形木板ABCD上切割、拼接出一個圓形桌面，可在該木板上切割出半徑相等的半圓形O₁和半圓形O₂，其中O₁、O₂分別是AD、BC上的點，半圓O₁分別與AB、BD 相切，半圓O₂分別與CD、BD相切．若AB=am，BC=bm，求最終拼接成的圓形桌面的半徑（用含a、b的代數式表示）．
（1）請解決該問題；
（2）①下面方框中是小明簡要的解答過程：
解：作O₁E⊥BC，垂足為E，連接O₁O₂（如圖2），設半圓O₁的半徑為xm，則半圓O₂的半徑也為xm．
在Rt△O₁EO₂中，O₁E²+O₂E²=O₁O₂²
即O₁E₂+（BC-BE-O₂C）2=O₁O₂²
所以a²+（b-2x）²=（2x）²
解得x=

a2+b2

4b

．
所以最終拼接成的圓形桌面的半徑為

a2+b2

4b

m．
老師說：“小明的解答是錯誤的！”請指出小明錯誤的原因．
②要使①中小明解得的答案是正確的，a、b需要滿足什么數量關系？

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）設半圓O₁與BD相切于點H，連接O₁H，設半圓O₁的半徑為xm，易證△O₁HD∽△BAD，只需利用相似三角形的性質就可得到關于x的方程，就可求出半圓O₁的半徑．
（2）①小明觀察圖形，誤以為兩個半圓一定相切，而導致解題錯誤；②要使①中小明解得的答案是正確的，只需小明的答案與所求的正確答案相等，然后化簡，就可得到a、b之間的數量關系．

解答：解：（1）設半圓O₁與BD相切于點H，連接O₁H，如圖，
則有O₁H⊥BD，即∠O₁HD=90°．
∵四邊形ABCD是矩形，AB=am，BC=bm，
∴∠BAD=90°，AD=BC=bm，
∴BD=

AB2+AD2

=

a2+b2

（m）．
設半圓O₁的半徑為xm，
則有O₁D=（b-x）m．
∵∠O₁DH=∠BDA，∠O₁HD=∠BAD=90°，
∴△O₁HD∽△BAD，
∴

O1H

AB

=

O1D

BD

，
∴O₁H•BD=O₁D•AB，
∴x•

a2+b2

=（b-x）•a，
解得：x=

a a2+b2 -a2

b

．
∴最終拼接成的圓形桌面的半徑長為

a a2+b2 -a2

b

m．

（2）①小明錯誤的原因是：小明誤以為兩個半圓一定相切．
②要使①中小明解得的答案是正確的，應滿足

a2+b2

4b

=

a a2+b2 -a2

b

，
即a²+b²=4（a

a2+b2

-a²），
整理得a²+b²-4a

a2+b2

+4a²=0，
∴（

a2+b2

-2a）²=0，
∴

a2+b2

-2a=0，
∴

a2+b2

=2a，
∴a²+b²=4a²，
∴b²=3a²．
∵a＞0，b＞0，
∴b=

3

a．
∴要使①中小明解得的答案是正確的，a、b應滿足b=

3

a．

點評：本題考查了切線的性質、相似三角形的判定與性質、矩形的性質、勾股定理等知識，問題的設置滲透了特殊與一般的辯證思想，并將自主探索與合作交流有機地結合起來，體現(xiàn)了新課程理念，是一道好題．