Question

7．如圖，AB∥CD，∠A=∠D=60°，AC與BD交于點E，連接BC，其中點M，N，K 分別是AE，BC，DE邊上的中點．求證：NK=MN．

Answer 1

分析 取BE的中點E，CE的中點F，連結(jié)MG、NG、NF、KF，如圖，先判斷△ABE和△CDE都是等邊三角形得到AB=BE，CD=CE，再根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得到MG=$\frac{1}{2}$AB，MG∥AB，F(xiàn)N=$\frac{1}{2}$BE，F(xiàn)N∥BE，NG=$\frac{1}{2}$CE，NG∥CE，KF=$\frac{1}{2}$CD，KF∥CD，則MG=NF，NG=KF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠NGE=∠GEM=∠EFN，易得∠MGN=∠NFK，則根據(jù)“SAS”可判斷△GMN≌△FNK，所以MN=NK．

解答 證明：取BE的中點E，CE的中點F，連結(jié)MG、NG、NF、KF，如圖，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠ACD=60°，∠ABD=∠D=60°，
∴△ABE和△CDE都是等邊三角形，
∴AB=BE，CD=CE，
∵點M，N，K、G，F(xiàn)分別是AE，BC，DE，BE，CE邊上的中點，
∴MG=$\frac{1}{2}$AB，MG∥AB，F(xiàn)N=$\frac{1}{2}$BE，F(xiàn)N∥BE，NG=$\frac{1}{2}$CE，NG∥CE，KF=$\frac{1}{2}$CD，KF∥CD，
∴MG=NF，NG=KF，∠NGE=∠GEM=∠EFN，
而∠EGM=∠ABE=60°，∠EFK=∠ECD=60°，
∴∠MGN=∠NFK，
在△GMN和△FNK中，
$\left\{\begin{array}{l}{MG=FN}\\{∠MGN=∠NFK}\\{GN=FK}\end{array}\right.$，
∴△GMN≌△FNK，
∴MN=NK．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸�條件．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)．構(gòu)建三角形中位線和運(yùn)用三角形中位線性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．