Question

如圖，在?ABCD中，E是AD上一點，連接BE，F(xiàn)為BE中點，且AF=BF，
（1）求證：四邊形ABCD為矩形；
（2）過點F作FG⊥BE，垂足為F，交BC于點G，若BE=BC，S_△BFG=5，CD=4，求CG．

Answer 1

考點：矩形的判定與性質(zhì),勾股定理,平行四邊形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）求出∠BAE=90°，根據(jù)矩形的判定推出即可；
（2）求出△BGE面積，根據(jù)三角形面積公式求出BG，得出EG長度，根據(jù)勾股定理求出GH，求出BE，得出BC長度，即可求出答案．

解答：（1）證明：∵F為BE中點，AF=BF，
∴AF=BF=EF，
∴∠BAF=∠ABF，∠FAE=∠AEF，
在△ABE中，∠BAF+∠ABF+∠FAE+∠AEF=180°，
∴∠BAF+∠FAE=90°，
又四邊形ABCD為平行四邊形，
∴四邊形ABCD為矩形；


（2）解：連接EG，過點E作EH⊥BC，垂足為H，
∵F為BE的中點，F(xiàn)G⊥BE，
∴BG=GE，
∵S_△BFG=5，CD=4，
∴S_△BGE=10=

1

2

BG•EH，
∴BG=GE=5，
在Rt△EGH中，GH=

GE2-EH2

=3，
在Rt△BEH中，BE=

BH2+GH2

=4

5

=BC，
∴CG=BC-BG=4

5

-5．

點評：本題考查了矩形的判定，勾股定理，三角形的面積，線段垂直平分線性質(zhì)等知識點的應用，主要考查學生綜合運用性質(zhì)進行推理的能力，題目比較好，有一定的難度．