Question

20．如圖，點B為AE上一點，點D在BC上，AB=BC，BD=BE，∠ABC=90°，M、N分別是AD、CE的中點，求∠BMN的度數(shù)．

Answer 1

分析 連接BN，求出∠ABD=∠CBE，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△CBE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠DAB=∠ECB，全等三角形對應(yīng)邊相等可得AD=CE，再求出AM=CN，然后利用“邊角邊”證明△AMB和△CNB全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BM=BN，∠ABM=∠CBN，然后求出∠MBN=∠ABC=90°，判斷出△BMN是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠BMN=45°．

解答 解：如圖，連接BN，
∵∠ABC=∠DBE，
∴∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD，
即∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABD=∠CBE}\\{BD=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴∠DAB=∠ECB，AD=CE，
又∵M(jìn)、N分別是AD、CE的中點，
∴AM=CN，
在△AMB和△CNB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠DAB=∠ECB}\\{AM=CN}\end{array}\right.$，
∴△AMB≌△CNB（SAS），
∴BM=BN，∠ABM=∠CBN，
∴∠MBN=∠ABC=90°，
∴△BMN是等腰直角三角形，
∴∠BMN=45°．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，此類題目往往求解思路相同，本題求出BM=BN，∠MBN=∠ABC是解題的關(guān)鍵．