【題目】現有一次函數y=mx+n和二次函數y=mx2+nx+1,其中m≠0,
(1)若二次函數y=mx2+nx+1經過點(2,0),(3,1),試分別求出兩個函數的解析式.
(2)若一次函數y=mx+n經過點(2,0),且圖象經過第一、三象限.二次函數y=mx2+nx+1經過點(a,y1)和(a+1,y2),且y1>y2,請求出a的取值范圍.
(3)若二次函數y=mx2+nx+1的頂點坐標為A(h,k)(h≠0),同時二次函數y=x2+x+1也經過A點,已知﹣1<h<1,請求出m的取值范圍.
【答案】(1)y=x﹣2,y=x2++1;(2)a<;(3)m<﹣2或m>0.
【解析】
(1)直接將點代入函數解析式,用待定系數法即可求解函數解析式;
(2)點(2,0)代入一次函數解析式,得到n=2m,利用m與n的關系能求出二次函數對稱軸x=1,由一次函數經過一、三象限可得m>0,確定二次函數開口向上,此時當 y1>y2,只需讓a到對稱軸的距離比a+1到對稱軸的距離大即可求a的范圍.
(3)將A(h,k)分別代入兩個二次函數解析式,再結合對稱抽得h=,將得到的三個關系聯立即可得到,再由題中已知1<h<1,利用h的范圍求出m的范圍.
(1)將點(2,0),(3,1),代入一次函數y=mx+n中,
,
解得,
∴一次函數的解析式是y=x﹣2,
再將點(2,0),(3,1),代入二次函數y=mx2+nx+1,
,
解得,
∴二次函數的解析式是.
(2)∵一次函數y=mx+n經過點(2,0),
∴n=﹣2m,
∵二次函數y=mx2+nx+1的對稱軸是x=,
∴對稱軸為x=1,
又∵一次函數y=mx+n圖象經過第一、三象限,
∴m>0,
∵y1>y2,
∴1﹣a>1+a﹣1,
∴a<.
(3)∵y=mx2+nx+1的頂點坐標為A(h,k),
∴k=mh2+nh+1,且h=,
又∵二次函數y=x2+x+1也經過A點,
∴k=h2+h+1,
∴mh2+nh+1=h2+h+1,
∴,
又∵﹣1<h<1,
∴m<﹣2或m>0.
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【題目】已知,如圖所示,在矩形ABCD中,點E在BC邊上,△AEF=90°
(1)如圖①,已知點F在CD邊上,AD=AE=5,AB=4,求DF的長;
(2)如圖②,已知AE=EF,G為AF的中點,試探究線段AB,BE,BG的數量關系;
(3)如圖③,點E在矩形ABCD的BC邊的延長線上,AE與BG相交于O點,其他條件與(2)保持不變,AD=5,AB=4,CE=1,求△AOG的面積.
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【題目】如圖1,直線l:y=x+m與x軸、y軸分別交于點A和點B(0,﹣1),拋物線y=x2+bx+c經過點B,與直線l的另一個交點為C(4,n).
(1)求n的值和拋物線的解析式;
(2)點D在拋物線上,DE∥y軸交直線l于點E,點F在直線l上,且四邊形DFEG為矩形(如圖2),設點D的橫坐標為t(0<t<4),矩形DFEG的周長為p,求p與t的函數關系式以及p的最大值;
(3)將△AOB繞平面內某點M旋轉90°或180°,得到△A1O1B1,點A、O、B的對應點分別是點A1、O1、B1.若△A1O1B1的兩個頂點恰好落在拋物線上,那么我們就稱這樣的點為“落點”,請直接寫出“落點”的個數和旋轉180°時點A1的橫坐標.
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【題目】如圖所示,在△ABD中,BC為AD邊上的高線,tan∠BAD=1,在BC上截取CG=CD,連結AG,將△ACG繞點C旋轉,使點G落在BD邊上的F處,A落在E處,連結BE,若AD=4,tanD=3,則△CFD和△ECF的面積比為___;BE長為____.
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【題目】已知四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形,AC是⊙O的直徑,DE⊥AB,垂足為E.
(1)延長DE交⊙O于點F,延長DC,FB交于點P,如圖1.求證:PC=PB;
(2)過點B作BG⊥AD,垂足為G,BG交DE于點H,且點O和點A都在DE的左側,如圖2.若AB= ,DH=1,∠OHD=80°,求∠BDE的大小.
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【題目】如圖,研究發(fā)現,科學使用電腦時,望向熒光屏幕畫面的“視線角” 約為,而當手指接觸鍵盤時,肘部形成的“手肘角”約為.圖是其側面簡化示意圖,其中視線水平,且與屏幕垂直.
()若屏幕上下寬,科學使用電腦時,求眼睛與屏幕的最短距離的長.
()若肩膀到水平地面的距離,上臂,下臂水平放置在鍵盤上,其到地面的距離,請判斷此時是否符合科學要求的?
(參考數據: , , , ,所有結果精確到個位)
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【題目】如圖1,已知點A、B、C、D在一條直線上,BF、CE相交于O,AE=DF,∠E=∠F,OB=OC.
(1)求證:△ACE≌△DBF;
(2)如果把△DBF沿AD折翻折使點F落在點G,如圖2,連接BE和CG. 求證:四邊形BGCE是平行四邊形.
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【題目】如圖1,P(m,n)在拋物線y=ax2-4ax(a>0)上,E為拋物線的頂點.
(1)求點E的坐標(用含a的式子表示);
(2)若點P在第一象限,線段OP交拋物線的對稱軸于點C,過拋物線的頂點E作x軸的平行線DE,過點P作x軸的垂線交DE于點D,連接CD,求證:CD∥OE;
(3)如圖2,當a=1,且將圖1中的拋物線向上平移3個單位,與x軸交于A、B兩點,平移后的拋物線的頂點為Q,P是其x軸上方的對稱軸上的動點,直線AP交拋物線于另一點D,分別過Q、D作x軸、y軸的平行線交于點E,且∠EPQ=2∠APQ,求點P的坐標.
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