【題目】如圖1,P(m,n)在拋物線y=ax2-4ax(a>0)上,E為拋物線的頂點(diǎn).
(1)求點(diǎn)E的坐標(biāo)(用含a的式子表示);
(2)若點(diǎn)P在第一象限,線段OP交拋物線的對稱軸于點(diǎn)C,過拋物線的頂點(diǎn)E作x軸的平行線DE,過點(diǎn)P作x軸的垂線交DE于點(diǎn)D,連接CD,求證:CD∥OE;
(3)如圖2,當(dāng)a=1,且將圖1中的拋物線向上平移3個單位,與x軸交于A、B兩點(diǎn),平移后的拋物線的頂點(diǎn)為Q,P是其x軸上方的對稱軸上的動點(diǎn),直線AP交拋物線于另一點(diǎn)D,分別過Q、D作x軸、y軸的平行線交于點(diǎn)E,且∠EPQ=2∠APQ,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】(1) E(2,﹣4a);(2)見解析;(3) P(2,+1).
【解析】
(1)將原式提取公因式然后化簡即可解答
(2)設(shè)直線OE的解析式為:y=k x,把E點(diǎn)代入可得直線OE的解析式為:y=﹣2ax,由P(m,n)得直線OP的解析式為:y=,得到C(2,),然后設(shè)直線CD的解析式為:y=kx+b,得到:k=﹣2a,即可解答
(3)當(dāng)a=1時(shí),拋物線解析式為:y=x2﹣4x,向上平移3個單位得新的拋物線解析式為:y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,然后設(shè)P(2,t),可得AP的解析式為:y=tx﹣t,D(3+t,t2+2t),Q(2,﹣1),E(3+t,﹣1),再設(shè)PE交x軸于F,即可解答
解:(1)y=ax2﹣4ax=a(x2﹣4x+4﹣4)=a(x﹣2)2﹣4a,
∴E(2,﹣4a);
(2)設(shè)直線OE的解析式為:y=kx,
把E(2,﹣4a)代入得:2k=﹣4a,
k=﹣2a,
∴直線OE的解析式為:y=﹣2ax,
由P(m,n)得直線OP的解析式為:y= ,
∴當(dāng)x=2時(shí),y= ,即C(2,),
∵D(m,﹣4a),
設(shè)直線CD的解析式為:y=kx+b,
將點(diǎn)D和C的坐標(biāo)代入得: (n=am2﹣4am),
解得:k=﹣2a,
根據(jù)兩直線系數(shù)相等,
∴OE∥CD;
(3)如圖2,當(dāng)a=1時(shí),拋物線解析式為:y=x2﹣4x,
向上平移3個單位得新的拋物線解析式為:y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,
∴Q(2,﹣1),A(1,0),B(3,0),
設(shè)P(2,t),
可得AP的解析式為:y=tx﹣t,
聯(lián)立方程組為: ,解得: , ,
∴D(3+t,t2+2t),
∵Q(2,﹣1),
∴E(3+t,﹣1),
∴PQ=QE=t+1,
∴∠EPQ=45°,
∵∠EPQ=2∠APQ,
∴∠APQ=22.5°,
設(shè)PE交x軸于F,
∵∠DEP=45°,
∴ME=FM=1,
∴∠FPA=∠PAF=67.5°,
∴PF=AF=t+1,
∵FP= t,
∴ t=t+1,
t= = +1,
∴P(2, +1).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)有一次函數(shù)y=mx+n和二次函數(shù)y=mx2+nx+1,其中m≠0,
(1)若二次函數(shù)y=mx2+nx+1經(jīng)過點(diǎn)(2,0),(3,1),試分別求出兩個函數(shù)的解析式.
(2)若一次函數(shù)y=mx+n經(jīng)過點(diǎn)(2,0),且圖象經(jīng)過第一、三象限.二次函數(shù)y=mx2+nx+1經(jīng)過點(diǎn)(a,y1)和(a+1,y2),且y1>y2,請求出a的取值范圍.
(3)若二次函數(shù)y=mx2+nx+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(h,k)(h≠0),同時(shí)二次函數(shù)y=x2+x+1也經(jīng)過A點(diǎn),已知﹣1<h<1,請求出m的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)問題發(fā)現(xiàn):如圖1,在Rt△ABC中,AB=AC,D為BC邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B、C重合)將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE,連接EC,則線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系是 ,位置關(guān)系是 ;
(2)探究證明:如圖2,在Rt△ABC與Rt△ADE中,AB=AC,AD=AE,將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)D落在BC的延長線上時(shí),連接EC,寫出此時(shí)線段AD,BD,CD之間的等量關(guān)系,并證明;
(3)拓展延仲:如圖3,在四邊形ABCF中,∠ABC=∠ACB=∠AFC=45°.若BF=13,CF=5,請直接寫出AF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校七年級(1)班班主任對本班學(xué)生進(jìn)行了“我最喜歡的課外活動”的調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果分為書法和繪畫類(記為A)、音禾類(記為B)、球類(記為C)、其他類(記為D).根據(jù)調(diào)査結(jié)果發(fā)現(xiàn)該班每個學(xué)生都進(jìn)行了登記且每人只登記了一種自己最喜歡的課外活動.班主任根據(jù)調(diào)査情況把學(xué)生進(jìn)行了歸類,并制作了如下兩幅統(tǒng)計(jì)圖.請你結(jié)合圖中所給信息解答下列同題:
(1)七年級(1)班學(xué)生總?cè)藬?shù)為______人,扇形統(tǒng)計(jì)圖中D類所對應(yīng)扇形的圓心角為______度,請補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(2)學(xué)校將舉行書法和繪畫比賽,每班需派兩名學(xué)生參加,A類4名學(xué)生中有兩名學(xué)生擅長書法,另兩名學(xué)生擅長繪畫.班主任現(xiàn)從A類4名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生參加比賽,請你用列表或畫樹狀圖的方法求出抽到的兩名學(xué)生恰好是一名擅長書法,另一名擅長繪畫的概率.
(3)如果全市有5萬名初中生,那么全市初中生中,喜歡球類的學(xué)生有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A、B在x軸的上方,∠AOB=90°,OA、OB分別與函數(shù)、的圖象交于A、B兩點(diǎn),以OA、OB為鄰邊作矩形AOBC.當(dāng)點(diǎn)C在y軸上時(shí),分別過點(diǎn)A和點(diǎn)B作AE⊥x軸,BF⊥x軸,垂足分別為E、F,則=_______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=與y軸交于點(diǎn)A,頂點(diǎn)為B,直線l:y=-x+b經(jīng)過點(diǎn)A,與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)P是對稱軸上的一個動點(diǎn),若AP+PC的值最小,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為( )
A. (3,1)
B. (3,)
C. (3,)
D. (3,)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了慶祝中國人民海軍成立70周年,某市舉行了“海軍知識”競賽,為了了解競賽成績的情況,隨機(jī)抽查了部分參賽學(xué)生的成績,整理并制作出如下的統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖,如圖所示。請根據(jù)圖表信息解答下列問題:
(1)在表中:m=___,n=___;
(2)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;
(3)若成績在90分以上(含90分)能獲獎,請你估計(jì)該是所有參賽的4500名中學(xué)生中大約有多少人能獲獎.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)y=ax﹣1的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象交于A,B兩點(diǎn),與x軸交于點(diǎn)C,與y軸交于點(diǎn)D,已知OA=,tan∠AOC=.
(1)求a,k的值及點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)觀察圖象,請直接寫出不等式ax﹣1≥的解集;
(3)在y軸上存在一點(diǎn)P,使得△PDC與△ODC相似,請你求出P點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】春曉中學(xué)為開展“校園科技節(jié)”活動,計(jì)劃購買A型、B型兩種型號的航模.若購買8個A型航模和5個B型航模需用2200元;若購買4個A型航模和6個B型航模需用1520元.求A,B兩種型號航模的單價(jià)分別是多少元.
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