Question

某公司經(jīng)營楊梅業(yè)務(wù)，以3萬元/噸的價格向農(nóng)戶收購楊梅后，分揀成A、B兩類，A類楊梅包裝后直接銷售；B類楊梅深加工后再銷售．A類楊梅的包裝成本為1萬元/噸，根據(jù)市場調(diào)查，它的平均銷售價格y（單位：萬元/噸）與銷售數(shù)量x（x≥2）之間的函數(shù)關(guān)系如圖；B類楊梅深加工總費(fèi)用s（單位：萬元）與加工數(shù)量t（單位：噸）之間的函數(shù)關(guān)系是s=12+3t，平均銷售價格為9萬元/噸．
（1）直接寫出A類楊梅平均銷售價格y與銷售量x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）第一次，該公司收購了20噸楊梅，其中A類楊梅有x噸，經(jīng)營這批楊梅所獲得的毛利潤為w萬元（毛利潤=銷售總收入-經(jīng)營總成本）．
①求w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
②若該公司獲得了30萬元毛利潤，問：用于直銷的A類楊梅有多少噸？
（3）第二次，該公司準(zhǔn)備投入132萬元資金，請設(shè)計一種經(jīng)營方案，使公司獲得最大毛利潤，并求出最大毛利潤．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,壓軸題

分析：（1）這是一個分段函數(shù)，分別求出其函數(shù)關(guān)系式；
（2）①當(dāng)2≤x＜8時及當(dāng)x≥8時，分別求出w關(guān)于x的表達(dá)式．注意w=銷售總收入-經(jīng)營總成本=w_A+w_B-3×20；
②若該公司獲得了30萬元毛利潤，將30萬元代入①中求得的表達(dá)式，求出A類楊梅的數(shù)量；
（3）本問是方案設(shè)計問題，總投入為132萬元，這筆132萬元包括購買楊梅的費(fèi)用+A類楊梅加工成本+B類楊梅加工成本．共購買了m噸楊梅，其中A類楊梅為x噸，B類楊梅為（m-x）噸，分別求出當(dāng)2≤x＜8時及當(dāng)x≥8時w關(guān)于x的表達(dá)式，并分別求出其最大值．

解答：解：（1）①當(dāng)2≤x＜8時，如圖，
設(shè)直線AB解析式為：y=kx+b，
將A（2，12）、B（8，6）代入得：

2k+b=12 8k+b=6

，解得

k=-1 b=14

，
∴y=-x+14；
②當(dāng)x≥8時，y=6．
所以A類楊梅平均銷售價格y與銷售量x之間的函數(shù)關(guān)系式為：
y=

-x+14  (2≤x＜8) 6  (x≥8)

；

（2）設(shè)銷售A類楊梅x噸，則銷售B類楊梅（20-x）噸．
①當(dāng)2≤x＜8時，
w_A=x（-x+14）-x=-x²+13x；
w_B=9（20-x）-[12+3（20-x）]=108-6x
∴w=w_A+w_B-3×20
=（-x²+13x）+（108-6x）-60
=-x²+7x+48；
當(dāng)x≥8時，
w_A=6x-x=5x；
w_B=9（20-x）-[12+3（20-x）]=108-6x
∴w=w_A+w_B-3×20
=（5x）+（108-6x）-60
=-x+48．
∴w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為：
w=

-x2+7x+48  (2≤x＜8) -x+48  (x≥8)

．
②當(dāng)2≤x＜8時，-x²+7x+48=30，解得x₁=9，x₂=-2，均不合題意；
當(dāng)x≥8時，-x+48=30，解得x=18．
∴當(dāng)毛利潤達(dá)到30萬元時，直接銷售的A類楊梅有18噸．

（3）設(shè)該公司用132萬元共購買了m噸楊梅，其中A類楊梅為x噸，B類楊梅為（m-x）噸，
則購買費(fèi)用為3m萬元，A類楊梅加工成本為x萬元，B類楊梅加工成本為[12+3（m-x）]萬元，
∴3m+x+[12+3（m-x）]=132，化簡得：x=3m-60．
①當(dāng)2≤x＜8時，
w_A=x（-x+14）-x=-x²+13x；
w_B=9（m-x）-[12+3（m-x）]=6m-6x-12
∴w=w_A+w_B-3×m
=（-x²+13x）+（6m-6x-12）-3m
=-x²+7x+3m-12．
將3m=x+60代入得：w=-x²+8x+48=-（x-4）²+64
∴當(dāng)x=4時，有最大毛利潤64萬元，
此時m=

64

3

，m-x=

52

3

；
②當(dāng)x≥8時，
w_A=6x-x=5x；
w_B=9（m-x）-[12+3（m-x）]=6m-6x-12
∴w=w_A+w_B-3×m
=（5x）+（6m-6x-12）-3m
=-x+3m-12．
將3m=x+60代入得：w=48
∴當(dāng)x＞8時，有最大毛利潤48萬元．
綜上所述，購買楊梅共

64

3

噸，其中A類楊梅4噸，B類

52

3

噸，公司能夠獲得最大毛利潤，最大毛利潤為64萬元．

點評：本題是二次函數(shù)、一次函數(shù)的綜合應(yīng)用題，難度較大．解題關(guān)鍵是理清售價、成本、利潤三者之間的關(guān)系．涉及到分段函數(shù)時，注意要分類討論．