Question

13．如圖1，ABCD是一張矩形紙片，AD=BC=1，AB=CD=5．在矩形ABCD的邊AB上取一點(diǎn)M，在CD上取一點(diǎn)N，將紙片沿MN折疊，使MB與DN交于點(diǎn)K，得到△MNK，KB交MN于O．
（1）若∠1=80°，求∠MKN的度數(shù)；
（2）當(dāng)B與D重合時，畫出圖形，并求出∠KON的度數(shù)；
（3）△MNK的面積能否小于$\frac{1}{2}$？若能，求出此時∠1的度數(shù)；若不能，試說明理由．

Answer 1

分析 （1）由平行線的性質(zhì)可知∠KNM=∠1，由翻折的性質(zhì)可知：KMN=∠1=80°，最后依據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求得∠MKN的值；
（2）先根據(jù)題意畫出圖形，然后由翻折的性質(zhì)可知DO=BO．接下來依據(jù)AAS證明△DON≌△BOM（AAS），由全等三角形的性質(zhì)可知DN=BM，根據(jù)有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形DMBN是平行四邊形，然后根據(jù)DM=BM可知平行四邊形DMBN是菱形，故此BD⊥MN從而得到∠KON=90°；
（3）過M點(diǎn)作ME⊥DN，垂足為E，先證明KN=KM，然后利用矩形的面積公式計算即可．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AM∥DN．
∴∠KNM=∠1．
∵∠1=80°，
∴∠KNM=∠KMN=∠1=80°．
∴∠MKN=20°．
（2）當(dāng)B與D重合時，如圖所示，K、B、D三點(diǎn)重合，連接NB．

∵B、D關(guān)于MN對稱，
∴DO=BO．
在△DON和△BOM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DNM=∠1}\\{∠NOD=∠MOB}\\{DO=BO}\end{array}\right.$，
∴△DON≌△BOM（AAS）．
∴DN=BM．
∵DC∥AB，
∴四邊形DMBN是平行四邊形．
∵DM=BM，
∴平行四邊形DMBN是菱形．
∴BD⊥MN．
∴∠DON=90°即∠KON=90°．
（3）能．
過M點(diǎn)作ME⊥DN，垂足為E，則ME=AD=1．

∵∠KNM=∠KMN，
∴MK=NK，
又∵M(jìn)K≥ME，
∴NK≥1．
∴△MNK的面積=$\frac{1}{2}$NK•ME≥$\frac{1}{2}$
∴△MNK的面積不可能小于$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查的是翻折的性質(zhì)、菱形的判定，證得四邊形DMBN是菱形是解題的關(guān)鍵．