Question

5．如圖，直線EF：y=$\frac{3}{4}$x+6與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)E、F，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6，0），點(diǎn)P（x，y）是直線y=$\frac{3}{4}$x+6上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，試寫出△OPA的面積s與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)自變量的取值范圍；
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△OPA的面積為9，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）過點(diǎn)P作EF的垂線分別交x軸、y軸于C、D．是否存在這樣的點(diǎn)P，使△COD≌△FOE？若存在，請(qǐng)畫草圖，并直接寫出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由直線解析式求出點(diǎn)E坐標(biāo)，分點(diǎn)P在E點(diǎn)上方或下方兩種情況討論．三角形OPA面積等于$\frac{1}{2}$×OA×（±y_p）．
（2）將S=9代入（1）求得的一次函數(shù)解析式，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）根據(jù)△COD≌△FOE，可知：OD=OE=8，OC=OF=6，因此求出C、D兩點(diǎn)坐標(biāo)，求出CD解析式，聯(lián)立直線EF即可求出點(diǎn)P坐標(biāo)．

解答 解：（1）令x=0，y=6，
∴F（0，6）．
令y=0，x=-8，
∴E（-8，0）．
當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，如下左圖：此時(shí)，x＞-6，
設(shè)P（x，$\frac{3}{4}$x+6），
則S=$\frac{1}{2}$×OA×y_p，
=$\frac{1}{2}$×6×（$\frac{3}{4}$x+6），
=$\frac{9}{4}$x+18．
當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，如下備用圖，此時(shí)，x＜-6，
設(shè)P（x，$\frac{3}{4}$x+6），
則S=$\frac{1}{2}$×OA×（-y_p），
=$\frac{1}{2}$×6×（-$\frac{3}{4}$x-6），
=-$\frac{9}{4}$x-18．
綜上所述：S=$\frac{9}{4}$x+18．（x＞-6），S=-$\frac{9}{4}$x-18．（x＜-6）．


（2）令S=9代入S=$\frac{9}{4}$x+18得：x=-4，
將x=-4代入y=$\frac{3}{4}$x+6得y=3，
∴P（-4，3）
令S=9代入S=-$\frac{9}{4}$x-18得：x=-12，
將x=-12代入y=$\frac{3}{4}$x+6得y=-3，
∴P（-12，-3）
綜上所述：P點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，3）或（-12，-3）

（3）存在
草圖如下：

∵△COD≌△FOE，
∴OD=OE=8，OC=OF=6，
∴C（-6，0），D（0，-8），
或C（6，0），D（0，8），
當(dāng)C（6，0），D（0，8），
設(shè)直線CD為y=kx+b，
帶入C（6，0），D（0，8），
得：$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=0}\\{b=8}\end{array}\right.$，
解得k=-$\frac{4}{3}$，b=8，
∴直線CD解析式：y=-$\frac{4}{3}$x+8．
同理當(dāng)C（-6，0），D（0，-8）時(shí)，
直線CD解析式：y=-$\frac{4}{3}$x-8．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x+6}\\{y=-\frac{4}{3}x+8}\end{array}\right.$，
解得x=$\frac{24}{25}$，y=$\frac{168}{25}$．
∴P（$\frac{24}{25}$，$\frac{168}{25}$）．
同理求得另一點(diǎn)P（-$\frac{232}{25}$，-$\frac{24}{25}$）．
∴存在這樣的點(diǎn)P，使△COD≌△FOE，且P（$\frac{24}{25}$，$\frac{168}{25}$）或（-$\frac{232}{25}$，-$\frac{24}{25}$）．

點(diǎn)評(píng) 題目考查了一次函數(shù)綜合應(yīng)用、平面直角坐標(biāo)系三角形面積求解、全等三角形等知識(shí)，題目整體較難，運(yùn)算也相對(duì)復(fù)雜，對(duì)學(xué)生提出了很高的要求．同時(shí)在求解過程中，不要出現(xiàn)漏解現(xiàn)象．