【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+2ax+c交x軸于A,B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C(0,3),tan∠OAC= .
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)H是線段AC上任意一點(diǎn),過(guò)H作直線HN⊥x軸于點(diǎn)N,交拋物線于點(diǎn)P,求線段PH的最大值;
(3)點(diǎn)M是拋物線上任意一點(diǎn),連接CM,以CM為邊作正方形CMEF,是否存在點(diǎn)M使點(diǎn)E恰好落在對(duì)稱軸上?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】
(1)
解:∵C(0,3),
∴OC=3,
∵tan∠OAC= ,
∴OA=4,
∴A(﹣4,0).
把A(﹣4,0)、C(0,3)代入y=ax2+2ax+c中,
得 ,解得: ,
∴拋物線的解析式為y=﹣ x2﹣ x+3
(2)
解:設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,
把A(﹣4,0)、C(0,3)代入y=kx+b中,
得: ,解得: ,
∴直線AC的解析式為y= x+3.
設(shè)N(x,0)(﹣4<x<0),則H(x, x+3),P(x,﹣ x2﹣ x+3),
∴PH=﹣ x2﹣ x+3﹣( x+3)=﹣ x2﹣ x=﹣ (x+2)2+ ,
∵﹣ <0,
∴PH有最大值,
當(dāng)x=﹣2時(shí),PH取最大值,最大值為
(3)
解:過(guò)點(diǎn)M作MK⊥y軸于點(diǎn)K,交對(duì)稱軸于點(diǎn)G,則∠MGE=∠MKC=90°,
∴∠MEG+∠EMG=90°,
∵四邊形CMEF是正方形,
∴EM=MC,∠MEC=90°,
∴∠EMG+∠CMK=90°,
∴∠MEG=∠CMK.
在△MCK和△MEG中, ,
∴△MCK≌△MEG(AAS),
∴MG=CK.
由拋物線的對(duì)稱軸為x=﹣1,設(shè)M(x,﹣ x2﹣ x+3),則G(﹣1,﹣ x2﹣ x+3),K(0,﹣ x2﹣ x+3),
∴MG=|x+1|,CK=|﹣ x2﹣ x+3﹣3|=|﹣ x2﹣ x|=| x2+ x|,
∴|x+1|=| x2+ x|,
∴ x2+ x=±(x+1),
解得:x1=﹣4,x2=﹣ ,x3=﹣ ,x4=2,
代入拋物線解析式得:y1=0,y2= ,y3= ,y4=0,
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是(﹣4,0),(﹣ , ),(﹣ , )或(2,0).
【解析】(1)由點(diǎn)C的坐標(biāo)以及tan∠OAC= 可得出點(diǎn)A的坐標(biāo),結(jié)合點(diǎn)A、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式;(2)設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,由點(diǎn)A、C的解析式利用待定系數(shù)法即可求出直線AC的解析式,設(shè)N(x,0)(﹣4<x<0),可找出H、P的坐標(biāo),由此即可得出PH關(guān)于x的解析式,利用配方法即二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問(wèn)題;(3)過(guò)點(diǎn)M作MK⊥y軸于點(diǎn)K,交對(duì)稱軸于點(diǎn)G,根據(jù)角的計(jì)算依據(jù)正方形的性質(zhì)即可得出△MCK≌△MEG(AAS),進(jìn)而得出MG=CK.設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)利用正方形的性質(zhì)即可得出點(diǎn)G、K的坐標(biāo),由正方形的性質(zhì)即可得出關(guān)于x的含絕對(duì)值符號(hào)的一元二次方程,解方程即可求出x值,將其代入拋物線解析式中即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo).本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì),解題的關(guān)鍵是:(1)利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式;(2)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問(wèn)題;(3)根據(jù)正方形的性質(zhì)得出關(guān)于x的含絕對(duì)值符號(hào)的一元二次方程.本題屬于中檔題,難度不大,解決該題型題目時(shí),根據(jù)正方形的性質(zhì)找出關(guān)于x的含絕對(duì)值符號(hào)的一元二次方程,解方程求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)是關(guān)鍵.
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)和正方形的性質(zhì),掌握增減性:當(dāng)a>0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而減;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而增大;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而減;正方形四個(gè)角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對(duì)角線相等,并且互相垂直平分,每條對(duì)角線平分一組對(duì)角;正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形;正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形即可以解答此題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)承包某校園綠化工程,甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需時(shí)間比是2:3,兩隊(duì)合做6天可以完成.
(1)求兩隊(duì)單獨(dú)完成此工程各需多少天?
(2)甲乙兩隊(duì)合做6天完成任務(wù)后,學(xué)校付給他們30000元報(bào)酬,若按各自完成的工程量分配這筆錢,問(wèn)甲、乙兩隊(duì)各得到多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=4,AD⊥BC,BD=2,延長(zhǎng)AD到E,使AE=2AD,連接BE.
(1)求證:△ABE為等邊三角形;
(2)將一塊含60°角的直角三角板PMN如圖放置,其中點(diǎn)P與點(diǎn)E重合,且∠NEM=60°,邊NE與AB交于點(diǎn)G,邊ME與AC交于點(diǎn)F.求證:BG=AF;
(3)在(2)的條件下,求四邊形AGEF的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,∠ACB=90°,AB=10cm,BC=6cm,若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以每秒4cm的速度沿折線A-C-B-A運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(t>0).
(1)若點(diǎn)P在AC上,且滿足PA=PB時(shí),求出此時(shí)t的值;
(2)若點(diǎn)P恰好在∠BAC的角平分線上,求t的值;
(3)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,直接寫出當(dāng)t為何值時(shí),△BCP為等腰三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC為等腰直角三角形,D為斜邊AB上任意一點(diǎn),(不與點(diǎn)A、B重合),連接CD,作EC⊥DC,且EC=DC,連接AE,則∠EAC為_______________度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,E為CD中點(diǎn),連接AE并延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.
(1)求證:CF =AD;
(2)若AD=2,AB=8,當(dāng)BC為多少時(shí),點(diǎn)B在線段AF的垂直平分線上?說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知:AD平分∠CAE,AD∥BC.
(1)求證:△ABC是等腰三角形.
(2)當(dāng)∠CAE等于多少度時(shí)△ABC是等邊三角形?證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】觀察下列等式:
第1個(gè)等式:a1= = ﹣1,
第2個(gè)等式:a2= = ﹣ ,
第3個(gè)等式:a3= =2﹣ ,
第4個(gè)等式:a4= = ﹣2,
按上述規(guī)律,回答以下問(wèn)題:
(1)請(qǐng)寫出第n個(gè)等式:an=;
(2)a1+a2+a3+…+an= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】用n邊形的對(duì)角線把n邊形分割成(n-2)個(gè)三角形,共有多少種不同的分割方案(n≥4)?
(探究)為了解決上面的數(shù)學(xué)問(wèn)題,我們采取一般問(wèn)題特殊化的策略,先從最簡(jiǎn)單情形入手,再逐次遞進(jìn)轉(zhuǎn)化,最后猜想得出結(jié)論.不妨假設(shè)n邊形的分割方案有Pn種.
探究一:用四邊形的對(duì)角線把四邊形分割成2個(gè)三角形,共有多少種不同的分割方案?
如圖①,圖②,顯然,只有2種不同的分割方案.所以,P4=2.
探究二:用五邊形的對(duì)角線把五邊形分割成3個(gè)三角形,共有多少種不同的分割方案?
不妨把分割方案分成三類:
第1類:如圖③,用A,E與B連接,先把五邊形分割轉(zhuǎn)化成1個(gè)三角形和1個(gè)四邊形,再把四邊形分割成2個(gè)三角形,由探究一知,有P4種不同的分割方案,所以,此類共有P4種不同的分割方案.
第2類:如圖④,用A,E與C連接,把五邊形分割成3個(gè)三角形,有1種不同的分割方案,可視為種分割方案.
第3類:圖⑤,用A,E與D連接,先把五邊形分割轉(zhuǎn)化成1個(gè)三角形和1個(gè)四邊形,再把四邊形分割成2個(gè)三角形,由探究一知,有P4種不同的分割方案,所以,此類共有P4種不同的分割方案.
所以,P5 =++=(種)
探究三:用六邊形的對(duì)角線把六邊形分割成4個(gè)三角形,共有多少種不同的分割方案?
不妨把分割方案分成四類:
第1類:如圖⑥,用A,F(xiàn)與B連接,先把六邊形分割轉(zhuǎn)化成1個(gè)三角形和1個(gè)五邊形,再把五邊形分割成3個(gè)三角形,由探究二知,有P5種不同的分割方案.所以,此類共有P5種不同的分割方案.
第2類:如圖⑦,用A,F(xiàn)與C連接,先把六邊形分割轉(zhuǎn)化成2個(gè)三角形和1個(gè)四邊形.再把四邊形分割成2個(gè)三角形,由探究一知,有P4種不同的分割方案.所以,此類共有P4種分割方案
第3類:如圖⑧,用A,F(xiàn)與D連接,先把六邊形分割轉(zhuǎn)化成2個(gè)三角形和1個(gè)四邊形.再把四邊形分割成2個(gè)三角形,由探究一知,有P4種不同的分割方案.所以,此類共有P4種分割方案.
第4類:如圖⑨,用A,F(xiàn)與E連接,先把六邊形分割轉(zhuǎn)化成1個(gè)三角形和1個(gè)五邊形.再把五邊形分割成3個(gè)三角形,由探究二知,有P5種不同的分割方案.所以,此類共有P5種分割方案.
所以,P6 =(種)
探究四:用七邊形的對(duì)角線把七邊形分割成5個(gè)三角形,則P7與P6的關(guān)系為:
P7 = ,共有_____種不同的分割方案.……
(結(jié)論)用n邊形的對(duì)角線把n邊形分割成(n-2)個(gè)三角形,共有多少種不同的分割方案(n≥4)?(直接寫出Pn與Pn -1的關(guān)系式,不寫解答過(guò)程).
(應(yīng)用)用八邊形的對(duì)角線把八邊形分割成6個(gè)三角形,共有多少種不同的分割方案? (應(yīng)用上述結(jié)論,寫出解答過(guò)程)
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