Question

已知：如圖，在直角坐標(biāo)平面xOy中，O為原點，點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，四邊形OABC是邊長為4的正方形，點E為BC的中點，且二次函數(shù)y=-x²+bx+c經(jīng)過B、E兩點．將正方形OABC翻折，使頂點C落在二次函數(shù)圖象的對稱軸MN上的點G處，折痕EF交y軸于點F．
（1）求二次函數(shù)y=-x²+bx+c的解析式；
（2）求點G的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點P為直線EF上的點，是否存在這樣的點P，使得以P、F、G為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)題意可知B（4，4）、E（2，4），依據(jù)待定系數(shù)法即可求得解析式．
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)，EB=2，根據(jù)MN∥y軸，由（1）得拋物線的對稱軸是直線x=3，EM=MB=1，MN⊥EB且MB=NA=1，可求EM=1，而EG=EC=2，在Rt△EGM中，由勾股定理即可求得；
（3）分為以下幾種情況：PF=FG，PF=PG，PG=FG，分別計算可得，P₁（1，4-

3

），P₂（3，4+

3

）．P₃（-

3

，1-2

3

），P₄（

3

，7-2

3

）．

解答：解：（1）根據(jù)題意可知B（4，4）、E（2，4），
由拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過B（4，4）、E（2，4）兩點，
得  

-4+2b+c=4 -16+4b+c=4.

，
解得  

b=6 c=-4.

，
∴所求拋物線的表達(dá)式為y=-x²+6x-4． 

（2）由（1）得拋物線的對稱軸是直線x=3．
∴EM=MB=1．
根據(jù)題意，CE=EG=2．
在Rt△EGM中，由勾股定理得，MG=

EG2-EG2

=

3

．
∴點G的坐標(biāo)為（3，4-

3

）． 


（3）P₁（1，4-

3

），P₂（3，4+

3

），P₃（-

3

，1-2

3

），P₄（

3

，7-2

3

）．

點評：主要考查了待定系數(shù)法求解析式以及函數(shù)和幾何圖形的綜合運用．解題的關(guān)鍵是會靈活的運用函數(shù)圖象的性質(zhì)和交點的意義求出相應(yīng)的線段的長度或表示線段的長度，再結(jié)合具體圖形的性質(zhì)求解．