Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點E為AB中點，連結CE，過點E作ED⊥BC于點D，在DE的延長線上取一點F，使AF=CE．
（1）求證：四邊形ACEF是平行四邊形．
（2）若EC=2ED=2x，試求△ABC的面積與四邊形ACEF面積的比值．

Answer 1

考點：平行四邊形的判定與性質,勾股定理

專題：

分析：（1）由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AF=CE，點E為AB中點，易證得AF=CE=AE=EB，又由ED⊥BC，可證得∠1=∠2=∠F，證得CE∥AF，即可判定四邊形ACEF是平行四邊形．
（2）由EC=2ED=2x，可求得S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

×2x×2

3

x=2

3

x²，S_?ACEF=AC•CD=2x•

3

x=2

3

x²，即可證得△ABC的面積與四邊形ACEF面積的比值為1．

解答：（1）證明：∵∠ACB=90°，點E為AB中點，
∴CE=AE=EB，
又∵AF=CE，
∴AF=CE=AE=EB，
又∵ED⊥BC，EB=EC，
∴∠1=∠2，
又∵∠2=∠3（對頂角相等），
∵AE=AF，
∴∠3=∠F，
∴∠1=∠2=∠F，
∴CE∥AF，
∵CE=AF，
∴四邊形ACEF是平行四邊形．

（2）解：由題意知：EC=2ED=2x，AC=2x，AB=4x，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理得：BC=

AB2-AC2

=

(4x)2+(2x)2

=2

3

x，
∴S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

×2x×2

3

x=2

3

x²，
在Rt△CDE中，∠CDE=90°，由勾股定理可得：CD=

3

x，
∴S_?ACEF=AC•CD=2x•

3

x=2

3

x²，
∴△ABC的面積與四邊形ACEF面積的比值為1．

點評：此題考查了平行四邊形的判定與性質以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．