Question

如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是邊AB、CD上的點(diǎn)，AE=CF，EF與對角線AC交于O點(diǎn)．
（1）求證：OE=OF；
（2）連接BF，若BE=BF，∠BEF=2∠BAC，BC=2

5

，求AB的長．

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）利用矩形的性質(zhì)得出∠CAE=∠ACF，∠CFO=∠AEO，進(jìn)而求出△AOE≌△COF（AAS），得出答案即可；
（2）首先求出∠BAC=30°，進(jìn)而得出∠BEF=2∠OBE，利用AB=

AC2-BC2

求出即可．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠CAE=∠ACF，∠CFO=∠AEO，
在△AOE和△COF中

∠CAE=∠ACF ∠CFO=∠AEO AE=CF

，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF；

（2）解：連接OB，
∵BF=BE，OE=OF，
∴BO⊥EF，
由（1）知，△AOE≌△COF，
∴OA=OC，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴BO=

1

2

AC=OA，
∴∠BAC=∠OBA，
又∠BEF=2∠BAC，
∴∠BEF=2∠OBE，
而Rt△OBE中，∠BEO+∠OBE=90°，
∴∠BAC=30°，
∴AC=2BC=2×2

5

=4

5

，
∴AB=

AC2-BC2

=

80-20

=

60

=2

15

．

點(diǎn)評：此題主要考查了矩形的性質(zhì)以及勾股定理和全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，得出△AOE≌△COF（AAS）是解題關(guān)鍵．