Question

已知關(guān)于x的方程（k-3）x²+kx+1=0．
（1）求證：不論k取何值，方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）當(dāng)k=4時，設(shè)該方程的兩個根為d、m，求d²+m²的值．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式,一元一次方程的解,根與系數(shù)的關(guān)系

專題：計算題

分析：（1）分類討論：當(dāng)k-3=0，即k=3，方程變形一元一次方程，有一個實(shí)數(shù)解；當(dāng)k-3≠0，即k≠3，計算判別式得到△=（k-2）²+8，利用（k-2）²≥0得到△＞0，則根據(jù)判別式的意義得到方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，然后可判斷不論k取何值，方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）k=4時，方程化為x²+4x+1=0，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得d+m=-4，dm=1，再利用完全平方公式變形得到d²+m²=（d+m）²-2dm，然后利用整體代入的方法計算即可．

解答：（1）證明：當(dāng)k-3=0，即k=3，方程變形為3x+1=0，解得x=-

1

3

；
當(dāng)k-3≠0，即k≠3，△=k²-4（k-3）=k²-4k+12=（k-2）²+8，由于（k-2）²≥0，則△＞0，所以方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，
所以不論k取何值，方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）解：k=4時，方程化為x²+4x+1=0，
根據(jù)題意得d+m=-4，dm=1，
所以d²+m²=（d+m）²-2dm
=4²-2×1
=14．

點(diǎn)評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．也考查了根與系數(shù)的關(guān)系．