Question

1．如圖1，正方形ABCD中，點G是直線AC上一點．
（1）GF⊥DG交BC于點F，求證：GD=GF；
（2）如圖2，點F在BC的延長線上，且GD=GF，求證：∠GDC=∠GFC；
（3）在（2）的條件下，若在線段AC上存在點G，使∠AGD=3∠GFC，直接寫出$\frac{CG}{AG}$=$\sqrt{2}$-1．

Answer 1

分析 （1）連接BG，由正方形的對稱性得出△ABG≌△ADG，得出GB=GD，∠1=∠2，證出∠3=∠4，由等角對等邊得出GB=GF，即可得出結論；
（2）連接BG，同（1）得：△BCG≌△DCG，得出GB=GD，∠GBC=∠GDC，由已知條件得出GB=GF，由等腰三角形的性質得出∠GBC=∠GFC，即可得出結論；
（3）連接BG，由（2）得：△ABG≌△ADG，GB=GD=GF，得出∠AGB=∠AGD=3∠GFC，∠GBC=∠GFC，設∠GBC=∠GFC=x，則∠AGB=∠AGD=3∠GFC=3x，由三角形的外角性質得出∠BCG=2x=45°，得出x=22.5°，∠AGB=∠ABG，由等角對等邊證出AG=AB，由AC=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$AG，即可得出結果．

解答 （1）證明：連接BG，如圖1所示
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°，正方形ABCD關于直線AC對稱，
∴△ABG≌△ADG，
∴GB=GD，∠1=∠2，
∴∠3=∠5，
∵GF⊥DG，
∴∠DGF=90°，
∴∠GFC+∠5=180°，
∵∠4+∠GFC=180°，
∴∠4=∠5，
∴∠3=∠4，
∴GB=GF，
∴GD=GF；
（2）證明：連接BG，如圖所示：
同（1）得：△BCG≌△DCG，
∴GB=GD，∠GBC=∠GDC，
∵GD=GF，
∴GB=GF，
∴∠GBC=∠GFC，
∴∠GDC=∠GFC；
（3）解：如圖所示：連接BG，
由（2）得：△ABG≌△ADG，GD=GF，
∴GB=GD=GF，∠AGB=∠AGD=3∠GFC，
∴∠GBC=∠GFC，
設∠GBC=∠GFC=x，
則∠AGB=∠AGD=3∠GFC=3x，
∵∠AGB=∠GBC+∠BCG，
∴∠BCG=2x=45°，
∴x=22.5°，
∴∠AGB=3×22.5°=67.5°，∠ABG=90°-22.5°=67.5°，
∴∠AGB=∠ABG，
∴AG=AB，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴AC=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$AG，
∴$\frac{CG}{AG}$=$\frac{AC-AG}{AG}$=$\frac{\sqrt{2}AG-AG}{AG}$=$\sqrt{2}$-1，
故答案為：$\sqrt{2}$-1．

點評 本題考查了正方形的性質、等腰三角形的判定與性質、三角形的外角性質、等腰直角三角形的性質、勾股定理等知識；本題綜合性強，有一定難度，需要通過作輔助線由正方形的對稱性得出等腰三角形是解決問題的關鍵．