Question

1．如圖1，正方形ABCD中，點(diǎn)G是直線AC上一點(diǎn)．
（1）GF⊥DG交BC于點(diǎn)F，求證：GD=GF；
（2）如圖2，點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上，且GD=GF，求證：∠GDC=∠GFC；
（3）在（2）的條件下，若在線段AC上存在點(diǎn)G，使∠AGD=3∠GFC，直接寫出$\frac{CG}{AG}$=$\sqrt{2}$-1．

Answer 1

分析 （1）連接BG，由正方形的對(duì)稱性得出△ABG≌△ADG，得出GB=GD，∠1=∠2，證出∠3=∠4，由等角對(duì)等邊得出GB=GF，即可得出結(jié)論；
（2）連接BG，同（1）得：△BCG≌△DCG，得出GB=GD，∠GBC=∠GDC，由已知條件得出GB=GF，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠GBC=∠GFC，即可得出結(jié)論；
（3）連接BG，由（2）得：△ABG≌△ADG，GB=GD=GF，得出∠AGB=∠AGD=3∠GFC，∠GBC=∠GFC，設(shè)∠GBC=∠GFC=x，則∠AGB=∠AGD=3∠GFC=3x，由三角形的外角性質(zhì)得出∠BCG=2x=45°，得出x=22.5°，∠AGB=∠ABG，由等角對(duì)等邊證出AG=AB，由AC=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$AG，即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：連接BG，如圖1所示
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°，正方形ABCD關(guān)于直線AC對(duì)稱，
∴△ABG≌△ADG，
∴GB=GD，∠1=∠2，
∴∠3=∠5，
∵GF⊥DG，
∴∠DGF=90°，
∴∠GFC+∠5=180°，
∵∠4+∠GFC=180°，
∴∠4=∠5，
∴∠3=∠4，
∴GB=GF，
∴GD=GF；
（2）證明：連接BG，如圖所示：
同（1）得：△BCG≌△DCG，
∴GB=GD，∠GBC=∠GDC，
∵GD=GF，
∴GB=GF，
∴∠GBC=∠GFC，
∴∠GDC=∠GFC；
（3）解：如圖所示：連接BG，
由（2）得：△ABG≌△ADG，GD=GF，
∴GB=GD=GF，∠AGB=∠AGD=3∠GFC，
∴∠GBC=∠GFC，
設(shè)∠GBC=∠GFC=x，
則∠AGB=∠AGD=3∠GFC=3x，
∵∠AGB=∠GBC+∠BCG，
∴∠BCG=2x=45°，
∴x=22.5°，
∴∠AGB=3×22.5°=67.5°，∠ABG=90°-22.5°=67.5°，
∴∠AGB=∠ABG，
∴AG=AB，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴AC=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$AG，
∴$\frac{CG}{AG}$=$\frac{AC-AG}{AG}$=$\frac{\sqrt{2}AG-AG}{AG}$=$\sqrt{2}$-1，
故答案為：$\sqrt{2}$-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，需要通過作輔助線由正方形的對(duì)稱性得出等腰三角形是解決問題的關(guān)鍵．