Question

【題目】如圖拋物y＝﹣與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．C，D兩點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，連接BD交y軸于點(diǎn)E，拋物線對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)F．

（1）點(diǎn)P為線段BD上方拋物線上的一點(diǎn)，連接PD，PE．點(diǎn)M是y軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN⊥y軸交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)N．當(dāng)△PDE面積最大時(shí)，求PM+MN+NF的最小值；

（2）如圖2，在（1）中PM+MN+NF取得最小值時(shí)，將△PME繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后得到△PM′E′，點(diǎn)G是MN的中點(diǎn)，連接M′G交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)H，過點(diǎn)H作直線l∥PM，點(diǎn)R是直線l上一點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在一點(diǎn)S，使以點(diǎn)M′，點(diǎn)G，點(diǎn)R，點(diǎn)S為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，直接寫出點(diǎn)S的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）PM+MN+NF的最小值＝；（2）存在，點(diǎn)S的坐標(biāo)為：S1（，），S2（，）．

【解析】

（1）待定系數(shù)法求直線BD解析式，再根據(jù)二次函數(shù)最大值方法求△PDE面積最大時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P坐標(biāo)，最后依據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短求PM+MN+NF的最小值；
（2）由旋轉(zhuǎn)求點(diǎn)M′坐標(biāo)，待定系數(shù)法求直線PM解析式、直線M′G以及直線l的解析式，依據(jù)矩形性質(zhì)分類討論求R坐標(biāo)，再根據(jù)平移規(guī)律求相應(yīng)的S坐標(biāo)．

（1）在拋物線y＝﹣x2-中，令x＝0，得：y＝，令y＝0，得：

x1＝﹣3，x2＝1

∴A（﹣3，0），B（1，0），C（0，）,

∵y＝﹣x2＝，

∴拋物線對(duì)稱軸為：直線x＝﹣1

∴D（﹣2，），

設(shè)直線BD解析式為y＝kx+b，將B（1，0），D（﹣2，）代入得 ，

解得：

∴直線BD解析式為y＝-x+

∴E（0，），

過點(diǎn)P作PG⊥x軸于G交BD于H，作PQ⊥BD于Q，連接CD，

設(shè)P（m，-m2- +），H（m，-m+）

PH＝-m2- +

∵PG∥y軸

∴∠PHD＝∠DEC，

∵C、D關(guān)于直線x＝﹣1對(duì)稱，

∴∠DCE＝∠PQE＝90°

∴△DCE∽△HQP

∴，即：PQDE＝DCPH，

∴S△PDE＝PQDE＝DCPH＝×2（-m2- +）

＝-，

∵-＜0,

∴當(dāng)m＝﹣時(shí)，S△PDE的最大值＝，此時(shí)，P（﹣，），

過點(diǎn)F作∠NFS＝60°，過N作∠FNS＝30°，F(xiàn)S與NS交于點(diǎn)S，如圖，

∴∠FSN＝90°，

∴NS＝NFcos∠FNS＝NFcos30°＝NF，過M作MK∥NS，且MK＝NS，

當(dāng)P、M、K三點(diǎn)共線時(shí)，PM+MK最小，

∴∠PMC＝∠KME＝∠FNS＝30°

∴PM＝2PL＝1，LM＝，MK＝NS＝NF＝（﹣）＝，MN＝1

∴PM+MN+NF的最小值＝1+1+＝.

（2）如圖:

由（1）知：P（﹣，），M（0，），可求得直線PM解析式為：y＝-x+，

∵∠PML＝30°，∠PLM＝90°，∴∠LPM＝60°

∵∠MPM′＝120°，PM′＝PM＝1

∴M′、P、L三點(diǎn)共線，∴M′（-，），

∵點(diǎn)G是MN的中點(diǎn)，

∴G（-，），待定系數(shù)法可求得直線M′G的解析式為：y＝-，令x＝﹣1，得y＝

∴H（﹣1，），∵直線l∥PM且過點(diǎn)H，

∴直線l的解析式為：y＝-x，設(shè)R（t，-t），∵以點(diǎn)M′，點(diǎn)G，點(diǎn)R，點(diǎn)S為頂點(diǎn)的四邊形是矩形

∴可以分兩種情形：M′G為邊或M′G為對(duì)角線

①M′G為邊，∠RM′G＝90°時(shí)

∴M′R2+M′H2＝RH2，即：(t+ ＝（t+1）2+(-t-)2

解得：t＝-，

∴R（﹣， ），由平移可得S1（-，），

②M′G為邊，∠M′GR＝90°時(shí)

∴GR2+HG2＝HR2，即：(t+＝（t+1）2+(-t-)2，

解得：t＝-，

∴R（-，），由平移可得S2（-，）,

③M′G為對(duì)角線，∠M′RG＝90°

∴M′R2+RG2＝M′G2，即：(t+)2+(--)2+(t+)2+(- ＝(- ，無解；

綜上所述，點(diǎn)S的坐標(biāo)為：S1（-），S2（-）．