Question

18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=-$\frac{1}{2}{x^2}$+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），且當(dāng)x=0和x=5時(shí)所對應(yīng)的函數(shù)值相等．一次函數(shù)y=-x+3與二次函數(shù)y=-$\frac{1}{2}{x^2}$+bx+c的圖象分別交于B，C兩點(diǎn)，點(diǎn)B在第一象限．
（1）求二次函數(shù)y=-$\frac{1}{2}{x^2}$+bx+c的表達(dá)式；
（2）連接AB，求AB的長；
（3）連接AC，M是線段AC的中點(diǎn)，將點(diǎn)B繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn)N，連接AN，CN，判斷四邊形ABCN的形狀，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)當(dāng)x=0和x=5時(shí)所對應(yīng)的函數(shù)值相等，可得（5，c），根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）聯(lián)立拋物線與直線，可得方程組，根據(jù)解方程組，可得B、C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理，可得AB的長；
（3）根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得M點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得MN與BM的關(guān)系，根據(jù)平行四邊形的判定，可得答案．

解答 解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=c，即（0，c）．
由當(dāng)x=0和x=5時(shí)所對應(yīng)的函數(shù)值相等，得（5，c）．
將（5，c）（1，0）代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{25}{2}+5b+c=c}\\{-\frac{1}{2}+b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{5}{2}}\\{c=-2}\end{array}\right.$．
故拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x-2；
（2）聯(lián)立拋物線與直線，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{5}{2}x-2}\\{y=-x+3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
即B（2，1），C（5，-2）．
由勾股定理，得
AB=$\sqrt{（2-1）^{2}+（1-0）^{2}}$=$\sqrt{2}$；
（3）如圖：
，
四邊形ABCN是平行四邊形，
證明：∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)，
∴AM=CM．
∵點(diǎn)B繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn)N，
∴BM=MN，
∴四邊形ABCN是平行四邊形．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用函數(shù)值相等得出點(diǎn)（5，c）是解題關(guān)鍵，又利用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；利用解方程組得出交點(diǎn)坐標(biāo)，又利用了勾股定理；利用了平行四邊形的判定：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．