Question

如圖，已知⊙O的直徑AB與弦CD互相垂直，垂足為點(diǎn)E．⊙O的切線BF與弦AD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，且AD=5，cos∠BCD=

4

5

．
（1）求弦CD的長(zhǎng)；
（2）求⊙O的半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）首先連接OD，由∠DAE=∠BCD與AD=5，cos∠BCD=

4

5

，可求得AE與ED的長(zhǎng)，又由垂徑定理，即可求得弦CD的長(zhǎng)；
（2）首先設(shè)OD=x，由在Rt△OED中，OE²+ED²=OD²，可得方程：（4-x）²+3²=x²，解此方程組即可求得答案．

解答：解：（1）連接OD，
∵∠DAE=∠BCD，
∴在Rt△AED中，AD=5，cos∠DAE=cos∠BCD=

4

5

，
∴AE=4，
∴ED=

AD2-AE2

=3，
∵AB⊥CD，
∴CD=2ED=6；

（2）設(shè)OD=x，
∴OE=AE-OA=4-x，
∵在Rt△OED中，OE²+ED²=OD²，
∴（4-x）²+3²=x²，
∴x=

25

8

，
∴⊙O的半徑為

25

8

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理以及三角函數(shù)等知識(shí)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．