Question

已知四邊形ABCD是邊長為2的正方形，在以AB為直徑的正方形內(nèi)作半圓O，P為半圓上的動點（不與A、B重合）連接PA、PB、PC、PD，
（1）若DP與半圓O相切時，求PA的長．
（2）如圖，以BC邊為x軸，以AB邊為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，把△PAD、△PAB、△PBC的面積分別記為S₁、S₂、S₃，試求2S₁S₃-S₂²的最大值，并求出此時點P的坐標．
（3）在（2）的條件下，E為邊AD上一點，且AE=3DE，連接BE交半圓O于F．連接FP并延長至點Q，使得PQ=PB，求OQ的長．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)已知可得OD垂直平分AP，得到△AMO∽△DAO，根據(jù)勾股定理從而得到AM，即可得到AP的值；
（2）過點P分別作PE⊥AB，設(shè)P點坐標為（x，y），通過勾股定理得到x²=2y-y²，從而得到2S₁S₃-S₂²關(guān)于x的解析式，求得其最值即可得到P的坐標；
（3）連接AF，作FK⊥AB交于點K，易得△BAE∽△BFA∽△AFE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BF，從而根據(jù)勾股定理以及△BFK∽△BEA，得到BE、FK及BK，即可得出F點坐標，接著得到直線PF解析式，設(shè)Q（a，-7a+8），利用PQ=PB=

2

得到Q點坐標，即可得到OQ的長度．

解答：解：（1）如圖1，連接OP、OD，AP與OD相交于點M，
∵DP與半圓O相切，
∴OA=OP，OP⊥DP，得OD垂直平分AP，
∴△AMO∽△DAO，
∴

AM

AD

=

AO

DO

，
∵AD=2，AO=1，
DO=

AD2+AO2

=

22+12

=

5

，
∴AM=

AO×AD

DO

=

1×2

5

=

2 5

5

，
∴AP=2AM=2×

2 5

5

=

4 5

5

；

（2）作PE⊥AB于點E，設(shè)P（x，y），
在Rt△EPO中，可得PE²+EO²=OP²，
即x²+（y-1）²=1²，
∴x²=2y-y²，
根據(jù)題意可得：S₁=

1

2

•AD•（2-y）=2-y，
S₃=

1

2

•BC•y=y，
S₂=

1

2

•AB•x=x，
∴2S₁S₃-S₂²=2•（2-y）•y-x²
=4y-2y²-x²
=x²
∵0＜x≤1
∴當x=1時，2S₁S₃-S₂²有最大值，最大值為1，
將x=1代入x²=2y-y²中，
可得y=1，
此時點P（1，1）

（3）連接AF，得AF⊥BE，作FK⊥AB交于點K，
∵AE=3DE，AD=2，
∴AE=

3

2

，AF=

6

5

，
根據(jù)題意，易得△BAE∽△BFA∽△AFE，
即：

AF

BF

=

EF

AF

=

AE

AB

，
得BF=

AF•AB

AE

=

6 5 •2

3 2

=

8

5

，
在△ABE中，BE=

AB2+AE2

=

5

2

，
易得△BFK∽△BEA，
即：

FK

BF

=

AE

BE

，
得FK=

AE

BE

•BF=

3 2 • 8 5

5 2

=

24

25

，
根據(jù)勾股定理可得，BK=

BF2-FK2

=

32

25

∴F（

24

25

，

32

25

），
∵P（1，1），
可求得直線PF解析式：y=-7x+8，
設(shè)Q（a，-7a+8），
∵PQ=PB=

2

，
∴

(a-1)2+(-7a+8-1)2

=

2

，
∴a₁=

4

5

，a₂=

6

5

，
∵Q在FP的延長上，
∴a＞1，
∴a=

6

5

，
∴Q點坐標為（

6

5

，-

2

5

），
∵O點坐標為（0，1），
∴QO=

( 6 5 -0)2+(- 2 5 -1)2

=

85

5

．

點評：本題考查了圓的綜合題，涉及了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、二元一次方程的最值問題、兩點間的距離等多個考點，此題綜合性很強，解題的關(guān)鍵是在于數(shù)形結(jié)合與方程思想的變換，特別是第（3）問中計算量較大，需要仔細認真．