Question

如圖，將矩形ABCD向左繞點C推倒，恰好D落在BC上D′處，得到矩形A′B′C′D′，作CE⊥AA′交

AA′

于點F，交A′D′于點G，已知AB=3，BC=4．
（1）求EF的長；
（2）求GD′的長．

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),矩形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接AC、A′C，利用勾股定理列式求出AC，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=A′C，∠ACA′=90°，判斷出△ACA′是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出CE，然后根據(jù)EF=CF-CE計算即可得解；
（2）求出△A′EG和△CD′G相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可得

EG

D′G

=

A′G

CG

=

A′E

CD′

=

5 2

6

，設(shè)EG=5

2

k，GD′=6k，表示出A′G、CG，再根據(jù)相似比列式求出k，然后求解即可．

解答：解：（1）如圖，連接AC、A′C，
由勾股定理得，AC=

AB2+BC2

=

32+42

=5，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AC=CF=A′C=5，∠ACA′=90°，
∴△ACA′是等腰直角三角形，
∴CE=A′E=

2

2

A′C=5×

2

2

=

5 2

2

，
∴EF=CF-CE=5-

5 2

2

；

（2）∵∠A′G=∠CD′G=90°，∠A′GE=∠CGD′，
∴△A′EG∽△CD′G，
∴

EG

D′G

=

A′G

CG

=

A′E

CD′

=

5 2 2

3

=

5 2

6

，
設(shè)EG=5

2

k，GD′=6k，
則A′G=4-6k，CG=

5 2

2

-5

2

k，
∴

4-6k

5 2 2 -5 2 k

=

5 2

6

，
解得k=

1

14

，
所以，GD′=6×

1

14

=

3

7

．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，難點在于（2）利用相似比列出比例式．