Question

1．如圖，四邊形OABC是平行四邊形，以O為圓心，OA為半徑的圓交AB于D，延長AO交⊙O于E，連接CD，CE，若CE是⊙O的切線，解答下列問題：
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若平行四邊形0ABC的兩邊長是方程x²-16x+60=0的兩根，求平行四邊形OABC的面積．

Answer 1

分析 （1）連接OD，證出△EOC≌△DOC，推出∠ODC=∠OEC=90°，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）解方程求出OC和OA，然后根據(jù)勾股定理求出CD，根據(jù)三角形的面積公式求出DF，根據(jù)平行四邊形的面積公式求出即可．

解答 （1）證明：∵CE是⊙O的切線，
∴∠OEC=90°，
如圖1，連接OD，
∵四邊形OABC是平行四邊形，
∴AO=BC，OC=AB，OC∥AB，
∴∠EOC=∠A，∠COD=∠ODA，
∵OD=OA，
∴∠A=∠ODA，
∴∠EOC=∠DOC，
在△EOC和△DOC中，
$\left\{\begin{array}{l}{OE=OD}\\{∠EOC=∠DOC}\\{OC=OC}\end{array}\right.$，
∴△EOC≌△DOC（SAS），
∴∠ODC=∠OEC=90°，
∴OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切線；

（2）解：∵平行四邊形0ABC的兩邊長是方程x²-16x+60=0的兩根，
解方程x²-16x+60=0得，x₁=10，x₂=6，
∴OC=10，OA=6，
過D作DF⊥OC于F，如圖2，
在Rt△CDO中，OC=10，OD=OA=6，由勾股定理得：CD=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
由三角形的面積公式得：$\frac{1}{2}$×CD×OD=$\frac{1}{2}$×OC×DF，
∴DF=$\frac{CD×OD}{OC}$=$\frac{8×6}{10}$=4.8，
∴平行四邊形OABC的面積是OC×DF=10×4.8=48．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)和判定，解一元二次方程，平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積的應用，主要考查學生綜合運用性質(zhì)進行推理和計算的能力．