Question

如圖，直線(xiàn)y=kx-1（k＞0）與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，且OB=

1

2

OC，點(diǎn)A（x，y）是直線(xiàn)y=kx-1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接OA，
（1）求B點(diǎn)的坐標(biāo)和k的值；
（2）求△AOB的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）探索：
①當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△AOB的面積是

1

4

？
②在①的情形下，x軸上是否存在一點(diǎn)P，使△POA是等腰三角形？若存在，請(qǐng)寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的所有P點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：綜合題

分析：（1）需根據(jù)OC=1求出B點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出k值；
（2）利用把△AOB的面積表示出來(lái)，在根據(jù)x與y之間的關(guān)系代入整理；
（3）代入求值即可，同時(shí)在查找等腰三角形的滿(mǎn)足P點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)要根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)查找．

解答：解：（1）2x²-3x+1=0，
（2x-1）（x-1）=0
2x-1=0，x-1=0，
解得x₁=

1

2

，x₂=1，
∵OB＜OC，
∴點(diǎn)B（

1

2

，0）；
把點(diǎn)B代入y=kx-1得，

1

2

k-1=0，
解得：k=2，
（2）直線(xiàn)解析式為y=2x-1，
△AOB的面積S=

1

2

×

1

2

×（2x-1）=

1

2

x-

1

4

，
（3）①△AOB面積S=

1

2

x-

1

4

，
當(dāng)S=

1

2

時(shí)，

1

2

x-

1

4

=

1

4

，
解得：x=1，
此時(shí)y=1，
則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，1）；
②存在這樣的點(diǎn)P．理由如下：
由②知，A的坐標(biāo)是（1，1），則OA=

12+12

=

2

．
i）如圖1，當(dāng)O是△AOP的頂角頂點(diǎn)時(shí)（OA=OP），P的坐標(biāo)是（-

2

，0）或（

2

，0）；
ii）當(dāng)A是△AOP的頂角頂點(diǎn)時(shí)（AO=AP），P與過(guò)A的與x軸垂直的直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則P的坐標(biāo)是（2，0）；
iii）當(dāng)P是△AOP的頂角頂點(diǎn)時(shí)（PA=PO），設(shè)P（x，0），則
x=

(x-1)2+12

，
解得，x=1，
則P（1，0）．
綜上所述，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)是：（-

2

，0）或（

2

，0）或（2，0）或（1，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題是一次函數(shù)綜合題型，主要利用了解一元二次方程，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，三角形的面積，等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)，難點(diǎn)在于（2）②根據(jù)等腰三角形的腰長(zhǎng)的不同分情況討論．