Question

如圖，已知一次函數(shù)y=

3

3

x+6的圖象分別交x軸、y軸于A、B兩點，點P從點A出發(fā)沿AO方向以每秒

3

單位長度的速度向點O勻速運動，同時點Q從點B出發(fā)沿BA方向以每秒2個單位長度向點A勻速運動，當其中一點到達終點時，另一點也停止運動，設運動時間為t秒，過點Q作QC⊥y軸，連接PQ、PC．
（1）點A的從標為

 

，點B的坐標為

 

，AB=

 

；
（2）四邊形APCQ能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應的t值；如果不能，說明理由．
（3）若點D（0，2），點N在x軸上，直線AB上是否存在點M，使以M、N、B、D為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出M點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）分別令y=0，x=0，即可求得A、B的坐標，然后根據(jù)勾股定理即可求得AB的長；
（2）先求得∠BQC=∠BAO=30°，從而得出QC=

3

2

QB，進而求得QC=

3

t，因為AP=

3

t，所以四邊形APCQ是平行四邊形，如果AQ=QC，則四邊形APCQ為菱形，
根據(jù)AQ=QC即可求得；
（3）根據(jù)四邊形APCQ是平行四邊形，可知M點的縱坐標為4，把y=4代入y=

3

3

x+6即可求得；

解答：解：（1）如圖1，∵一次函數(shù)y=

3

3

x+6的圖象分別交x軸、y軸于A、B兩點，
令y=0，則0=

3

3

x+6，解得：x=-6

3

，
∴A（-6

3

，0），
令x=0，則y=6，
∴B（0，6），
∴AB=

(-6 3 )2+62

=12；

（2）如圖1，∵直線AB的斜率為

3

3

，
∴∠BAO=30°，
∵QC⊥y軸，
∴QC∥x軸，
∴∠BQC=∠BAO=30°，
∴QC=

3

2

QB，
∵QB=2t，
∴QC=

3

t，
∵AP=

3

t，
∴四邊形APCQ是平行四邊形，
∴如果AQ=QC，則四邊形APCQ為菱形，
∵AB=12，
∴AQ=12-2t，
即12-2t=

3

t，解得：t=24-12

3

，
∴當t=24-12

3

時，四邊形APCQ為菱形；

（3）如圖2，∵B（0，6），D（0，2），
∴BD=4，
∵四邊形MNDB是平行四邊形，
∴MN=BD=4，MN⊥x軸，
把y=4代入y=

3

3

x+6得：4=

3

3

x+6，
解得：x=-2

3

，
∴M（-2

3

，4）．
把y=-4代入y=

3

3

x+6得：-4=

3

3

x+6，
解得：x=-10

3

，
M（-10

3

，-4），
M點的坐標為（-2

3

，4），（-10

3

，-4）．

點評：本題考查了直線與坐標軸的交點的求法，三角函數(shù)的應用，平行四邊形的判定，菱形的判定以及直線上點的坐標的求法等．