Question

如圖，∠CAP=∠DBP=90度，AC=AP，BD=BP，E為CD的中點．
（1）猜想△ABE為何種特殊三角形；
（2）請對（1）中你的猜想進行證明．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,平行線的判定與性質,等腰直角三角形

專題：幾何綜合題

分析：（1）根據(jù)圖形猜想為等腰直角三角形．
（2）延長AE至F，使EF=AE，連結DF、BF；延長AP交DF于G，根據(jù)條件先得出△CEA≌△DEF，然后證得△BDF≌△BPA，進而求得AE=EF，通過證得△ABF為等腰直角三角形，從而得出△ABE為等腰直角三角形．

解答：解：（1）猜想△ABE為等腰直角三角形；

（2）延長AE至F，使EF=AE，連結DF、BF；延長AP交DF于G；
在△CEA與△DEF中，

AE=EF ∠AEC=∠FED CE=DE

，
∴△CEA≌△DEF（SAS），
∴DF=AC=AP，∠C=∠EDF
∴AC∥DF，
∵∠CAP=90°，
∴∠PGD=90°，
∵∠DBP=90°，
∴在四邊形PBDG中，有∠BDF+∠BPG=180°
∴∠BDF=∠BPA，
在△BDF和△BPA中，

AP=DF ∠BDF=∠BPA BP=BD

，
∴△BDF≌△BPA（SAS），
∴BF=BA，∠DBF=∠PBA，
∵AE=EF，
∴BE⊥AE，
∵∠DBF=∠PBA，
∴∠ABF=∠PBA+∠PBF=∠DBF+∠PBF=90°，
∴△ABF為等腰直角三角形，
∴∠BAE=45°，
∴∠ABE=45°，
∴△ABE為等腰直角三角形．

點評：本題考查了三角形全等的判定和性質，平行線的判定和性質等腰直角三角形的判定和性質等，輔助線的作出是本題的關鍵．