Question

5．要使方程組$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2ay=5}\\{y-x=6a}\end{array}\right.$有正整數(shù)解，則a的值是$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 審題可知這是一道含有字母系數(shù)的二次方程組，首先代入消元得到含有字母a的一元二次方程：x²+2ax+12a²-5=0，用公式法求出方程的根-a±$\sqrt{5-11{a}^{2}}$：利用判別式分析得出a＜$\frac{8}{11}$，再根據(jù)“解為正整數(shù)，y-x=6a”得出6a為整數(shù)，a的絕對(duì)值只能取值為：$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{6}$，最后代入根的公式，根據(jù)解為正整數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)．

解答 解：
方程組消元得：x²+2ax+12a²-5=0
用公式法求得方程的根為：x=-a±$\sqrt{5-11{a}^{2}}$，由△=-44a²+20≥0，得出|a|≤$\sqrt{\frac{5}{11}}$，
由x和y都是正整數(shù)知y-x=6a為整數(shù)，所以|a|的可能值為：$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{6}$
把a(bǔ)的值代入求根公式計(jì)算：當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，x=-a±$\sqrt{5-11{a}^{2}}$，x=1（滿(mǎn)足題意）或x=-2（舍去）
當(dāng)a=$\frac{1}{6}$時(shí)，x=-a±$\sqrt{5-11{a}^{2}}$，x=2（滿(mǎn)足題意）或x=$-\frac{7}{3}$（舍去）
依次驗(yàn)證得出：只有$\frac{1}{2}$和$\frac{1}{6}$滿(mǎn)足題意．
故答案為：$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了方程組的消元法，以及對(duì)于一元二次方程的根的探索研究，在解決此題時(shí)，認(rèn)真分析，分別討論是關(guān)鍵，做題一定不要漏解．