Question

已知一元二次方程x²+6x-m²=0
（1）求證：無論m取何值，原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（2）若x₁和x₂為原方程的兩個(gè)根，且x₁-2x₂=12．求m的值和此時(shí)的根．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系

專題：證明題

分析：（1）先計(jì)算判別式的值得到△=6+m²，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到△＞0，于是根據(jù)判別式的意義可得無論m取何值，原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（2）先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=-6，x₁•x₂=-m²，由于x₁-2x₂=12，則可先求出x₁和x₂，然后計(jì)算m的值．

解答：（1）證明：△=6²-4•（-m²）
=6+m²，
∵m²≥0，
∴6+m²＞0，即△＞0，
∴無論m取何值，原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）解：根據(jù)題意得x₁+x₂=-6，
而x₁-2x₂=12，
∴x₁=0，x₂=-6，
∴x₁•x₂=-m²=0，
∴m=0，
即m的值為0，此時(shí)的根為x₁=0，x₂=-6．

點(diǎn)評：本題考查了根的判別式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac有如下關(guān)系：當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．也考查了根與系數(shù)的關(guān)系．