Question

如圖，點A、B、C在同一條直線上，分別以AB、BC為邊在直線AC的同側作等邊三角形△ABD、△BCE．連接AE、DC，AE與DC所在直線相交于F，連接FB．判斷線段FB、FE與FC之間的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,等邊三角形的性質

專題：

分析：首先根據題意證明△ABE≌△DBC，進而證明B、C、E、F四點共圓；通過作輔助線構造出一對全等三角形，利用全等三角形的性質來證明FB=FC-FE成立．

解答：解：FB=FC-FE．證明如下：
∵△ABD、△BCE均為等邊三角形，∴AD=BD，BE=BC，∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠ABE=∠CBD=180°-60°=120°；
在△ABE與△DBC中，

AB=DB ∠ABE=∠DBC BE=BC

，
∴△ABE≌△DBC（SAS）．
∴∠FEB=∠FCB；故B、C、E、F四點共圓．
∴∠FBE=∠KCE；∠EFC=∠EBC=60°，∠BFC=∠BEC=60°，故∠BFE=120°；
在FC上截取線段FK，使FK=FE，連接EK；
∵∠EFK=60°，
∴△EFK為等邊三角形，∠EKF=60°；
∴∠EKC=180°-60°=120°；而∠BFE=120°，；
∴∠BFE=∠CKE；
在△FBE與△KCE中：

∠FBE=∠KCE ∠BFE=∠CKE BE=CE

，
∴△ABE≌△DBC（AAS），
∴FB=KC，而KC=FC-FK=FC-FE，
∴FB=FC-FE．

點評：命題考查了全等三角形的判定與性質、等邊三角形的性質及其應用問題；解題的關鍵是通過證明一對全等三角形來判斷四點共圓；通過構造一對全等三角形，借助圓的有關性質來解決問題．