Question

【題目】如圖1，已知長(zhǎng)方形ABCD，AB=CD=4，BC=AD=6，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，E為CD邊的中點(diǎn)，P為長(zhǎng)方形ABCD邊上的動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，沿著A→B→C→E運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)停止，設(shè)點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路程為x，△APE的面積為y．

（1）求當(dāng)x=5時(shí)，對(duì)應(yīng)y的值；

（2）如圖2、3、4，求出當(dāng)點(diǎn)P分別在邊AB、BC和CE上時(shí)，y與x之間的關(guān)系式；

（3）如備用圖，當(dāng)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在點(diǎn)P使得△APE的周長(zhǎng)最小，若存在，求出此時(shí)∠PAD的度數(shù)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）x=5時(shí)，y=11；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上時(shí)，y=3x；當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上時(shí)， ；當(dāng)點(diǎn)P在線段CE上時(shí)， ；

（3）存在，此時(shí)∠PAD=45°.

【解析】試題分析：（1）利用三角形面積求法S△AP′E=S梯形ABCE-S△ABP′-S△P′CE，分別得出答案；

（2）利用當(dāng)0≤x≤4時(shí)，當(dāng)4<x≤10時(shí)，當(dāng)10<x≤12時(shí)，分別得出y與x的函數(shù)關(guān)系式即可；（3）利用軸對(duì)稱求最短路線的方法得出P點(diǎn)位置，進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)求出答案．

試題解析： (1)如圖1，

∵長(zhǎng)方形ABCD中，BC=AD=6，

∴當(dāng)x=2時(shí),則AP=2,故y=S△APE=×2×6=6；

∵長(zhǎng)方形ABCD，AB=CD=4，BC=AD=6，

∴當(dāng)x=5時(shí),則BP′=1，

故y=S△AP′E=S梯形ABCES△ABP′S△P′CE

= (AB+EC)×BC×AB×BP′P′C×EC= (4+2)×6×1×4×5×2=11.

(2)當(dāng)0x4時(shí),y=x×6=3x；

當(dāng)4<x10時(shí)，P在BC上，

y=S梯形ABCES△ABP′S△P′CE=18×4×(x4) (10x)×2=16x；

當(dāng)10<x≤12時(shí)，P在EC上，

y=×6×(12x)=363x.

綜上所述：y=.

（3）存在.如圖，

作點(diǎn)E關(guān)于BC所在直線的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接AE′ 交BC于點(diǎn)P，此時(shí)△APE的周長(zhǎng)最小，于是DE′=6=AD，又因?yàn)椤?/span>D=90°，所以=45°．