Question

10．如圖，△ABC為等邊三角形，D為AB上一點(diǎn)，點(diǎn)E為CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CE=CB，連接BE并延長(zhǎng)交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若AD=3，CF=7，則CD=4．

Answer 1

分析 以點(diǎn)A為圓心，CA為半徑作⊙C，在AC上截取AG=BD，設(shè)∠ABE=α，可證明△ABG≌△BCD，求得∠FBG=60°-α，根據(jù)∠F=60°-α，得CD=FG，即可得出FG的長(zhǎng)，從而得出CD即可．

解答 解：以點(diǎn)A為圓心，CA為半徑作⊙C，在AC上截取AG=BD，設(shè)∠ABE=α，
∴點(diǎn)A、E、B都在⊙C上，
∴∠ACE=2∠ABE=2α，∠BCE=60°-2α，
∵AG=BD，∠BAG=60°=∠CBD，AB=BC，
在△ABG和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=BD}\\{∠BAG=∠CBD}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△BCD，
∴BG=CD，∠ABG=∠BCD=60°-2α，
∴∠FBG=∠ABE+∠ABG=60°-α，
又∵∠F=∠BAC-∠ABF=60°-α，
∴∠FBG=∠F，
∴BG=FG，
∴CD=FG，
∵BD=AG，AB=AC，
∴CG=AC-AG=AB-BD=AD=3，
∴FG=CF-CG=4，
∴CD=4．
故答案為4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了判定和性質(zhì)，以及等邊三角形的性質(zhì)、圓周角定理，是一道綜合性的題目，難度不大，是中考的常見題型．