Question

已知，在銳角三角形紙片ABC中，直線EF∥BC，將紙片沿直線EF折疊，分別交線段AB，AC，AD于E，F(xiàn)，G，設(shè)點A落在平面上的點為P，則以E、F、P為頂點的三角形△EFP稱為△AEF的“折疊三角形”．設(shè)在銳角三角形紙片ABC中，BC=4，高AD=3，EF=x．
（1）如圖，求線段AG的長（用x的代數(shù)式表示）；
（2）將紙片沿直線EF折疊，設(shè)點A落在平面上的點為P，△AEF的“折疊三角形”△PEF與四邊形BCFE重疊部分的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

考點：翻折變換（折疊問題）

專題：計算題

分析：（1）證明△AEF∽△ABC，利用相似比即可得到AG=

3

4

x；
（2）先根據(jù)折疊得到PG=AG=

3

4

x，再分類討論：當(dāng)P落在△ABC的內(nèi)部，如圖1，即x≤2，此時y=S_△AEF，根據(jù)三角形面積公式得到y(tǒng)=

3

8

x²；當(dāng)P落在△ABC的外部，如圖2，PE、PF分別交BC于M、N點，先表示出PG=AG=

3

4

x，PA=2AG=

3

2

x，PD=PA-AD=

3

2

x-3，DG=AD-AG=3-

3

4

x，再證明△PMN∽△PEF，利用相似比表示出MN=2x-4，此時y=S_梯形MNFE，根據(jù)梯形的面積公式得到y(tǒng)=-

9

8

x²+6x-6（2＜x≤3）．

解答：解：（1）∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴

AG

AD

=

EF

BC

，即

AG

3

=

x

4

，
∴AG=

3

4

x（0＜x≤3）；
（2）∵三角形△EFP稱為△AEF的“折疊三角形”，
∴PG=AG，
當(dāng)P落在△ABC的內(nèi)部，如圖1，即AP≤AD，則2•

3

4

x≤3，解得x≤2，此時y=S_△AEF=

1

2

EF•AG=

1

2

•x•

3

4

x=

3

8

x²；
當(dāng)P落在△ABC的外部，如圖2，PE、PF分別交BC于M、N點，則PG=AG=

3

4

x，PA=2AG=

3

2

x，PD=PA-AD=

3

2

x-3，DG=AD-AG=3-

3

4

x，
∵MN∥EF，
∴△PMN∽△PEF，
∴

MN

EF

=

PD

PG

，即

MN

x

=

3 2 x-3

3 4 x

，
∴MN=2x-4，
∴y=S_梯形MNFE=

1

2

（MN+EF）•DG
=

1

2

（2x-4+x）•（3-

3

4

x）
=-

9

8

x²+6x-6（2＜x≤3），
綜上所述，y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系為：y=

3 8 x2(0＜x≤2) - 9 8 x2+6x-6(2＜x≤3)

．

點評：本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．