Question

【題目】如圖，在菱形中，，點(diǎn)，分別在，邊上，且，與交于點(diǎn)．若，，則四邊形的面積為________．

Answer 1

【答案】

【解析】

首先利用菱形的性質(zhì)得出AB=AD，又由AB=BD得出△ABD是等邊三角形，進(jìn)一步證明△CDE≌△DBF，得出∠BGE=∠DGF=60°，證得四邊形ABGD是圓內(nèi)接四邊形，過(guò)點(diǎn)A再分別作AM⊥DE，AN⊥BF，證明△ABN≌△ADM，把四邊形ABGD的面積轉(zhuǎn)化為四邊形AMGN的面積即可．

解：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=AD，

又∵AB=BD

∴△ABD是等邊三角形，

∴∠BAD=∠ABD=60°

∴∠DBC=∠BDF=∠C=60°

在△CDE和△DBF中，

∴△CDE≌△DBF（SAS）

∴∠CDE=∠DBF

∴∠GBE=∠BDE

∴∠DBF+∠GBE=∠DBF+∠BDE=∠BGE=∠DGF=60°=∠BAD

∴四邊形ABGD是圓內(nèi)接四邊形，

∴∠BGD=120°

如圖，過(guò)點(diǎn)A分別作AM⊥DE，AN⊥BF，垂足分別為M、N

∵AG是角平分線(xiàn)，

∴AN=AM，

在Rt△ABN和Rt△ADM中，

,

∴Rt△ABN≌Rt△ADM（HL）

∴BN=DM

∴GN+GM=BG+DG=2+3=5

連接AG，

在Rt△AGN和Rt△AGM中
,

∴Rt△AGN≌Rt△AGM（HL）

∴NG=MG=（BG+DG）=，∠AGN=∠BGD=60°

∴AN=NGtan∠AGN=

∴S四邊形ABGD=S四邊形ANGM．

S四邊形ABGD=2S△AGN，=2××NG×AN=×

=．

故答案為：．